次の問に答えよ.
(1) 関数 \(f(x) = x^{-2} 2^x \ ( x \neq 0 )\) について, \(f'(x) \gt 0\) となるための \(x\) に関する条件を求めよ.
(2) 方程式 \(2^x = x^2\) は相異なる \(3\) つの実数解をもつことを示せ.
(3) 方程式 \(2^x = x^2\) の解で有理数であるものをすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(f(x)\) を微分すると \[\begin{align} f'(x) & = -2 x^{-3} 2^x +x^{-2} \cdot 2^x \log 2 \\ & = x^{-3} 2^x ( x \log 2 -2 ) \ . \end{align}\] \(x^{-4} 2^x \gt 0\) なので, \(f'(x) \gt 0\) をとくと \[\begin{gather} x ( x \log 2 -2 ) \gt 0 \\ \text{∴} \quad \underline{x \lt 0 , \ \dfrac{2}{\log 2} \lt x} \ . \end{gather}\]
(2)
\(2^x = x^2\) ... [1] を変形すると
\[
x^{-2} 2^x = f(x) = 1 \ .
\]
なので, \(y = f(x)\) と \(y = 1\) が異なる \(3\) 点で交わることを示せばよい.
(1) の過程と
\[
\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = \infty , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -\infty} f(x) = 0 , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \pm 0} f(x) = \infty \ .
\]
より, \(f(x)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccc} x & ( -\infty ) & \cdots & (0) & \cdots & \dfrac{2}{\log 2} & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & & + & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & (0) & \nearrow & ( \infty ) & \searrow & \text{極小} & \nearrow & ( \infty ) \end{array}
\]
\(2 \lt e \lt 2^2\) より, \(\dfrac{1}{2} \lt \log 2 \lt 1\) なので
\[
2 \lt \dfrac{2}{\log 2} \lt 4 \ .
\]
であり
\[
f(2) = f(4) = 1 \quad ... [2] \ .
\]
なので \(y = f(x)\) のグラフは, 下図のようになる.
よって, 題意は示された.
(3)
[2] より, \(x = 2 , 4\) は [1] の解である.\(x \lt 0\) なる [1] の有理数解が存在するかを考える.
有理数の解 \(x = r \ ( \lt 0 )\) があると仮定すると, \(r^2\) は有理数なので, \(2^r\) も有理数である.
したがって, 「 \(r\) は整数である. 」... [3] ところが, \(x \lt 0\) において, \(f(x)\) は単調増加であり \[ f(-1) = \dfrac{1}{2} \lt 1 \ . \] なので, \(f(x) = 1\) をみたす負の整数 \(r\) は存在せず, [3] と矛盾する.
よって, 求める有理数解は \[ x = \underline{2 , 4} \ . \]