\(k\) を実数とする. \(xy\) 平面の曲線 \(C _ 1 : \ y = x^2\) と \(C _ 2 : \ y = -x^2 +2kx +1 -k^2\) が異なる共有点 P , Q を持つとする. ただし点 P , Q の \(x\) 座標は正であるとする. また, 原点を O とする.
(1) \(k\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の重心 G の軌跡を求めよ.
(3) \(\triangle \text{OPQ}\) の面積を \(S\) とするとき, \(S^2\) を \(k\) を用いて表せ.
(4) \(k\) が (1) の範囲を動くとする. \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大となるような \(k\) の値と, そのときの重心 G の座標を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C_1 , C_2\) の式より \[\begin{align} x^2 = -x^2 +2kx +1 & -k^2 \\ \text{∴} \quad 2x^2 -2kx +k^2 -1 & = 0 \quad ... [1] \ . \end{align}\] [1] の \(2\) つの解が P , Q の \(x\) 座標なので, 判別式 \(D\) について \[\begin{align} \dfrac{D}{4} & = k^2 -2 ( k^2 -1 ) \\ & = 2 -k^2 \gt 0 \\ \text{∴} \quad -\sqrt{2} & \lt k \lt \sqrt{2} \quad ... [2] \ . \end{align}\] また, 解と係数の関係から \[\begin{align} \dfrac{2k}{2} \gt 0 \ & , \ \dfrac{k^2 -1}{2} \gt 0 \\ \text{∴} \quad k & \gt 1 \quad ... [3] \ . \end{align}\] [2] [3] より, 求める範囲は \[ \underline{1 \lt k \lt \sqrt{2}} \ . \]
(2)
P , Q の \(x\) 座標を \(p , q \ ( p \gt q )\) とおくと
\[
p+q = k \ , \ pq = \dfrac{k^2 -1}{2} \quad ... [4] \ .
\]
P \(( p , p^2 )\) , Q \(( q , q^2 )\) なので
\[
\text{G} \left( \dfrac{p+q}{3} , \dfrac{p^2 +q^2}{3} \right) \ .
\]
[4] を用いて
\[\begin{align}
p^2 +q^2 & = ( p+q )^2 -2pq \\
& = k^2 -2 \cdot \dfrac{k^2 -1}{2} = 1 \ .
\end{align}\]
ゆえに, G \(\left( \dfrac{k}{3} , 1 \right)\) .
(1) の結果より, \(\dfrac{1}{3} \lt \dfrac{k}{3} \lt \dfrac{\sqrt{2}}{3}\) なので, 求める軌跡は
\[
\underline{\text{線分} \ : \ y = \dfrac{1}{3} \ \left( \dfrac{1}{3} \lt x \lt \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right)} \ .
\]
(3)
\[\begin{align} S & = \dfrac{1}{2} \left| p q^2 -p^2 q \right| \\ & = \dfrac{1}{2} pq | p-q | \ . \end{align}\] なので, [4] も用いて \[\begin{align} S^2 & = \dfrac{1}{4} (pq)^2 \left\{ (p+q)^2 -4pq \right\} \\ & = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{( k^2 -1 )^2}{4} \left\{ k^2 -2 ( k^2 -1 ) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{1}{16} ( k^2 -1 )^2 ( 2 -k^2 )} \ . \end{align}\]
(4)
\(t =k^2\) とおくと, \(1 \lt t \lt 2\) ... [5] .
\(f(t) = ( t-1 )^2 ( 2-t )\) とおけば, [5] において \(f(t)\) が最大になるとき, \(S\) も最大となる.
\[\begin{align}
f'(t) & = 2 ( t-1 ) ( 2-t ) -( t-1 )^2 \\
& = ( t-1 ) ( 5 -3t ) \ .
\end{align}\]
したがって, [5] における \(f(t)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} t & ( 1 ) & \cdots & \dfrac{5}{3} & \cdots & ( 2 ) \\ \hline f'(t) & (0) & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array}
\]
したがって, \(f(t)\) の最大値は
\[
f \left( \dfrac{5}{3} \right) = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27} \ .
\]
よって, \(S\) が最大となるのは
\[
k = \underline{\dfrac{\sqrt{15}}{3}}
\]
のときで, このとき, G の座標は
\[
\underline{\left(\dfrac{\sqrt{15}}{9} , \dfrac{1}{3} \right)} \ .
\]