四面体 OABC において, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおく. このとき等式 \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \] が成り立つとする. \(t\) は実数の定数で, \(0 \lt t \lt 1\) を満たすとする. 線分 OA を \(t : 1-t\) に内分する点を P とし, 線分 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とする. また, 線分 PQ の中点を M とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OM}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) と \(t\) を用いて表せ.
(2) 線分 OM と線分 BM の長さが等しいとき, 線分 OB の長さを求めよ.
(3) \(4\) 点 O , A , B , C が点 M を中心とする同一球面上にあるとする. このとき, \(\triangle \text{OAB}\) と \(\triangle \text{OCB}\) は合同であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(\overrightarrow{\text{OP}} = t \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OQ}} = ( 1-t ) \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c}\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{OM}} & = \dfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{\text{OP}} +\overrightarrow{\text{OQ}} \right) \\ & = \underline{\dfrac{t}{2} \overrightarrow{a} +\dfrac{1-t}{2} \overrightarrow{b} +\dfrac{t}{2} \overrightarrow{c}} \ . \end{align}\]
(2)
\(\text{OM} = \text{BM}\) より \[\begin{align} \left| \overrightarrow{\text{OM}} \right|^2 -\left| \overrightarrow{\text{BM}} \right|^2 & = \left( \overrightarrow{\text{OM}} +\overrightarrow{\text{BM}} \right) \cdot \left( \overrightarrow{\text{OM}} +\overrightarrow{\text{BM}} \right) \\ & = \left( 2 \overrightarrow{\text{OM}} -\overrightarrow{\text{OB}} \right) \cdot \overrightarrow{\text{OB}} \\ & = t \left( \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \overrightarrow{b} \\ & = t \left( 2 -\left| \overrightarrow{b} \right|^2 \right) = 0 \ . \end{align}\] \(t \neq 0\) なので \[ \left| \overrightarrow{b} \right| = \text{OB} = \underline{\sqrt{2}} \ . \]
(3)
\(\text{OM} = \text{AM}\) より
\[\begin{align}
\left| \overrightarrow{\text{OM}} \right|^2 -\left| \overrightarrow{\text{AM}} \right|^2 & = \left( \overrightarrow{\text{OM}} +\overrightarrow{\text{AM}} \right) \cdot \left( \overrightarrow{\text{OM}} +\overrightarrow{\text{AM}} \right) \\
& = \left( 2 \overrightarrow{\text{OM}} -\overrightarrow{\text{OA}} \right) \cdot \overrightarrow{\text{OA}} \\
& = \left\{ -(1-t) \overrightarrow{a} +(1-t) \overrightarrow{b} +t \overrightarrow{c} \right\} \cdot \overrightarrow{a} \\
& = 1 -(1-t) \left| \overrightarrow{a} \right|^2 = 0 \ .
\end{align}\]
\(t \neq 0\) なので
\[
\left| \overrightarrow{a} \right| = \text{OA} = \dfrac{1}{\sqrt{1-t}} \ .
\]
\(\text{OM} = \text{CM}\) より, 同様にすれば
\[
\left| \overrightarrow{c} \right| = \text{OC} = \dfrac{1}{\sqrt{1-t}} \ .
\]
ゆえに, \(\text{OA} = \text{OC}\) ... [1] .
条件より
\[\begin{gather}
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-t}} \cos \angle \text{AOB} = 1 \\
\text{∴} \quad \cos \angle \text{AOB} = \dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{2}} \ .
\end{gather}\]
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1\) より, 同様にすれば
\[
\cos \angle \text{COB} = \dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{2}} \ .
\]
ゆえに, \(\angle \text{AOB} = \angle \text{COB}\) ... [2] .
△OAB と △OCB は, OB を共有し, [1] [2] より, \(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
\[
\triangle \text{OAB} \equiv \triangle \text{OCB} \ .
\]