関数 \(f(x) = 2 \sqrt{x} e^{-x} \ ( x \geqq 0 )\) について次の問いに答えよ.
(1) \(f'(a) = 0\) , \(f''(b) = 0\) を満たす \(a , b\) を求め, \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \sqrt{x} e^{-x} = 0\) であることは証明なしに用いてよい.
(2) \(k \geqq 0\) のとき \(V(k) = \displaystyle\int _ {0}^{k} x e^{-2x} \, dx\) を \(k\) を用いて表せ.
(3) (1) で求めた \(a , b\) に対して曲線 \(y = f(x)\) と \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x=a\) , \(x=b\) で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f'(x) & = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{-x} -2 \sqrt{x} e^{-x} \\ & = \dfrac{( 1 -2x ) e^{-x}}{\sqrt{x}} \ . \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = a = \underline{\dfrac{1}{2}} \ . \] さらに \[\begin{align} f''(x) & = -\dfrac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} \cdot e^{-x} -\dfrac{2 ( 1 -2x ) e^{-x}}{\sqrt{x}} \\ & = \dfrac{( 4x^2 -4x +1 ) e^{-x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} \\ & = \dfrac{\left( x -\frac{1 -\sqrt{2}}{2} \right) \left( x -\frac{1 +\sqrt{2}}{2} \right) e^{-x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} \ . \end{align}\] \(x \geqq 0\) において, \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = b = \underline{\dfrac{1 +\sqrt{2}}{2}} \ . \] また \[\begin{align} & f(0) = 0 \ , \quad \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \ , \\ & \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} f'(x) = \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} -2 \sqrt{x} \right) e^{-x} = \infty \end{align}\]
したがって, \(f(x)\) の増減, 凹凸は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & \dfrac{1 +\sqrt{2}}{2} & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(x) & ( \infty ) & + & 0 & - & & - & \\ \hline f''(x) & & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow ( \cap ) & & \searrow ( \cap ) & & \searrow ( \cup ) & (0) \end{array} \] \[ f \left( \dfrac{1}{2} \right) = \sqrt{\dfrac{2}{e}} \ , \ f \left( \dfrac{1 +\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2 +2 \sqrt{2}} e^{\frac{1 +\sqrt{2}}{2}} \] なので, \(y = f(x)\) のグラフの概形は下図の通り.
(2)
\(G(x) = \displaystyle\int x e^{-2x} \, dx\) とおくと \[\begin{align} G(x) & = -\dfrac{1}{2} x e^{-2x} +\dfrac{1}{2} \displaystyle\int e^{-2x} \, dx \\ & = -\dfrac{1}{2} x e^{-2x} -\dfrac{1}{4} e^{-2x} \\ & = -\dfrac{2x +1}{4} e^{-2x} +C \quad ( \ C \ \text{は積分定数} \ ) \ . \end{align}\] なので \[\begin{align} V(k) & = G(k) -G(0) \\ & = -\dfrac{2k +1}{4} e^{-2k} +\dfrac{1}{4} \\ & = \underline{\dfrac{1}{4} \left\{ 1 -( 2k +1 ) e^{-2k} \right\}} \ . \end{align}\]
(3)
求める体積 \(W\) は \[\begin{align} W & = 4 \pi \displaystyle\int _ {0}^{b} x e^{-2x} \, dx -4 \pi \displaystyle\int _ {0}^{a} x e^{-2x} \, dx \\ & = 4 \pi \left\{ V(b) -V(a) \right\} \\ & = \pi \left\{ 1 -( 2b+1 ) e^{-2b} -1 +( 2a+1 ) e^{-2a}\right\} \\ & = \underline{\pi \left\{ 2 e^{-1} -( 2 +\sqrt{2} ) e^{-1 -\sqrt{2}} \right\}} \ . \end{align}\]