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\(\triangle \text{PQR}\) において \(\angle \text{RPQ} = \theta\) , \(\angle \text{PQR} = \dfrac{\pi}{2}\) とする. 点 \(\text{P} {} _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次で定める. \[ \text{P} {} _ 1 = \text{P} , \quad \text{P} {} _ 2 = \text{Q} , \quad \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+2} = \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+1} \] ただし, 点 \(\text{P} {} _ {n+2}\) は線分 \(\text{P} {} _ n \text{R}\) 上にあるものとする. 実数 \(\theta _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を \[ \theta _ n = \angle \text{P} {} _ {n+1} \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+2} \quad ( 0 \lt \theta _ n \lt \pi ) \] で定める.

1. (1)　\(\theta _ 2 , \theta _ 3\) を \(\theta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\theta _ {n+1} +\dfrac{\theta _ n}{2} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) は \(n\) によらない定数であることを示せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \theta _ n\) を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} \theta _ 2 & = \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi -\theta}{2} = \underline{\dfrac{\theta}{2}} \ , \\ \theta _ 3 & = \pi -\dfrac{\pi -\theta}{2} -\dfrac{\pi -\frac{\theta}{2}}{2}= \underline{\dfrac{3 \theta}{4}} \ . \end{align}\]

(2)

「 \(\theta _ {n+1} +\dfrac{\theta _ n}{2} = \theta\) 」 ... [A] とする.

1. 1*　\(n = 1\) のとき \[ \theta _ 2 +\dfrac{\theta _ 1}{2} = \dfrac{\theta}{2} +\dfrac{\theta}{2} = \theta \] で, [A] が成立する.

2. 2*　\(n = k\) のとき [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} \theta _ {k+2} & = \angle \text{P} {} _ {k+4} \text{P} {} _ {k+2} \text{P} {} _ {k+3} \\ & = \pi -\angle \text{P} {} _ {k+1} \text{P} {} _ {k+2} \text{P} {} _ {k+3} -\angle \text{P} {} _ {k} \text{P} {} _ {k+2} \text{P} {} _ {k+1} \\ & = \pi -\dfrac{\pi -\theta _ {k}}{2} -\dfrac{\pi -\theta _ {k+1}}{2} \\ & = \dfrac{\theta _ {k}}{2} +\dfrac{\theta _ {k+1}}{2} \ . \end{align}\] 両辺に \(\dfrac{\theta _ {k+1}}{2}\) を加えれば \[ \theta _ {k+2} +\dfrac{\theta _ {k+1}}{2} = \theta _ {k+1} +\dfrac{\theta _ {k}}{2} = \theta \ . \] ゆえに, \(n = k+1\) のときも, [A] が成立する.

1* 2* から, 数学的帰納法により, すべての自然数 \(n\) について, [A] が成立することが示され, 題意も示された.

(3)

[A] を変形すると \[ \theta _ {n+1} -\dfrac{2 \theta}{3} = -\dfrac{1}{2} \left( \theta _ {n} -\dfrac{2 \theta}{3} \right) \ . \] つまり, 数列 \(\left\{ \theta _ {n} -\dfrac{2 \theta}{3} \right\}\) は, 初項 \(\theta _ 1 -\dfrac{2 \theta}{3} = \dfrac{\theta}{3}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{2}\) の等比数列なので \[\begin{align} \theta _ {n} -\dfrac{2 \theta}{3} & = \dfrac{\theta}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \\ \text{∴} \quad \theta _ {n} = \dfrac{2 \theta}{3} & +\dfrac{\theta}{3} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \ . \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \theta _ n = \underline{\dfrac{2 \theta}{3}} \ . \]