\(xy\) 平面において \(2\) つの円 \[\begin{align} C _ 1 \ & : \ x^2 -2x +y^2 +4y -11 = 0 \ , \\ C _ 2 \ & : \ x^2 -8x +y^2 -4y +k = 0 \end{align}\] が外接するとし, その接点を P とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) の値を求めよ.
(2) P の座標を求めよ.
(3) 円 \(C_1\) と円 \(C_2\) の共通接線のうち点 P を通らないものは \(2\) 本ある. これら \(2\) 直線の交点 Q の座標を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C_1\) の式より
\[
(x-1)^2 +(y+2)^2 = 16
\]
なので, \(C_1\) は中心が点 A \(( 1 , -2 )\) , 半径 \(4\) .
\(C_2\) の式より
\[
(x-4)^2 +(y-2)^2 = 20-k
\]
なので, \(C_2\) は中心が点 B \(( 4 , 2 )\) , 半径 \(\sqrt{20 -k}\) .
\[
\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right) \ , \ \text{AB} = \sqrt{3^2 +4^2} = 5
\]
ゆえに, \(C_1 , C_2\) が外接するのは
\[\begin{align}
4 +\sqrt{20 -k} & = 5 \\
\text{∴} \quad k & = \underline{19}
\end{align}\]
(2)
\[ \overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{4}{5} \overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{12}{5} \\ \dfrac{16}{5} \end{array} \right) \] なので \[ \text{P} \ \underline{\left( \dfrac{17}{5} , \dfrac{6}{5} \right)} \]
(3)
A, B から一方の接線に下した垂線の足をそれぞれ C, D とおくと,
\(\triangle \text{ACQ} \sim \triangle \text{BDQ}\) であり, 相似比は \(\text{AC} : \text{BD} = 4 : 1\) .
ゆえに
\[
\overrightarrow{\text{BQ}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \dfrac{4}{3} \end{array} \right)
\]
よって
\[
\text{Q} \ \underline{\left( 5 , \dfrac{10}{3} \right)}
\]