\(t = \sin \theta +\cos \theta\) とし, \(\theta\) は \(-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くものとする.
(1) \(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta\) と \(\cos 4 \theta\) を, それぞれ \(t\) を用いて表せ.
(3) \(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta = \cos 4 \theta\) であるとき, \(t\) の値をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[
t = \sqrt{2} \sin \left( \theta +\dfrac{\pi}{4} \right)
\]
\(-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) なので, \(-\dfrac{\pi}{4} \lt \theta +\dfrac{\pi}{4} \lt \dfrac{3 \pi}{4}\) .
よって
\[
\underline{-1 \lt t \leqq \sqrt{2}} \quad ... [1]
\]
(2)
\[\begin{align} t^2 & = 1 +2 \sin \theta \cos \theta \\ \text{∴} \quad \sin \theta \cos \theta & = \dfrac{t^2 -1}{2} \end{align}\] したがって \[\begin{align} \sin^3 \theta +\cos^3 \theta & = \left( \sin \theta +\cos \theta \right) \left( \sin^2 \theta -\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta \right) \\ & = t \left( 1 -\dfrac{t^2 -1}{2} \right) \\ & = \underline{\dfrac{1}{2} t ( 3 -t^2 )} \ , \\ \cos 4 \theta & = 1 -2 \sin^2 2 \theta \\ & = 1 -8 \left( \sin \theta \cos \theta \right)^2 \\ & = 1 -2( t^2 -1 )^2 \\ & = \underline{-2x^4 +4t^2 -1} \end{align}\]
(3)
(2) の結果と条件より \[\begin{align} \dfrac{1}{2} t ( 3 -t^2 ) & = -2x^4 +4t^2 -1 \\ 4t^4 -t^3 -8t^2 +3t +2 & = 0 \\ ( t-1 )^2 ( 4t^2 +7t +2 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad t = 1 , \dfrac{-7 \pm \sqrt{17}}{8} \end{align}\] \(4 \lt \sqrt{17} \lt 5\) に注意すれば, [1] をみたす解は \[ t = \underline{1 , \dfrac{-7 +\sqrt{17}}{8}} \]