O を原点とする座標空間において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , 1 )\) を通る平面を \(\alpha\) とする. \(2\) 点 P \(( 0 , 5 , 5 )\) , Q \(( 1 , 1 , 1 )\) をとる. 点 P を通り \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) に平行な直線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) 上の点 R から平面 \(\alpha\) に下した垂線と \(\alpha\) の交点を S とする. \(\overrightarrow{\text{OR}} = \overrightarrow{\text{OP}} +k \overrightarrow{\text{OQ}}\) （ただし \(k\) は実数）とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k\) を用いて, \(\overrightarrow{\text{AS}}\) を成分で表せ.
(2) 点 S が \(\triangle \text{ABC}\) の内部または周にあるような \(k\) の値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\alpha\) の式は \[\begin{align} -\dfrac{x}{2} +y +z & = 1 \quad ... [1] \\ \text{∴} \quad z & = \dfrac{x}{2} -y +1 \quad ... [2] \end{align}\] [1]より, \(\alpha\) に垂直なベクトルの \(1\) つは \(\left( \begin{array}{c} -\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\) . \[ \overrightarrow{\text{OR}} = \overrightarrow{\text{OP}} +k \overrightarrow{\text{OQ}} = \left( \begin{array}{c} k \\ k+5 \\ k+5 \end{array} \right) \] なので, [2] も用いて \[ \overrightarrow{\text{RS}} = \overrightarrow{\text{OS}} -\overrightarrow{\text{OR}} = \left( \begin{array}{c} x-k \\ y -k -5 \\ \dfrac{x}{2} -y -k-4 \end{array} \right) \] また, 実数 \(m\) を用いて \[ \overrightarrow{\text{RS}} = m \left( \begin{array}{c} -\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \] ゆえに, 成分を比較して \[ \left\{ \begin{array}{ll} x-k = -\dfrac{m}{2} & ... [3] \\ y -k -5 = m & ... [4] \\ \dfrac{x}{2} -y -k -4 = m & ... [5] \end{array} \right. \] [4] [5] より \[\begin{align} y -k -5 & = \dfrac{x}{2} -y -k -4 \\ \text{∴} \quad x & = 4y -2 \quad ... [6] \end{align}\] [3] に代入して \[\begin{align} -2 ( 4y -k ) & = y -k -5 \\ 9y & = 3k +9 \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{k}{3} +1 \end{align}\] [2] [6] より \[\begin{align} x & = \dfrac{4}{3} k +2 \ , \\ z & = \dfrac{2}{3} k +1 -\dfrac{k}{3} -1 +1 = \dfrac{k}{3} +1 \end{align}\] ゆえに \[ \text{S} \ \left( \dfrac{4}{3} k +2 , \dfrac{k}{3} +1 , \dfrac{k}{3} +1 \right) \] よって \[ \overrightarrow{\text{AS}} = \overrightarrow{\text{OS}} -\overrightarrow{\text{OA}} = \underline{\left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)} \]
(2)
BC の中点を M とおくと, \(\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\) , \(\overrightarrow{\text{AC}} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AS}} = \left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \left( \overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{AC}} \right) = 2 \left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \overrightarrow{\text{AM}} \end{align}\] したがって, 点 S が条件をみたすのは, 線分 AM 上にあるときで, 求める \(k\) 値の範囲は \[\begin{gather} 0 \leqq 2 \left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \leqq 1 \\ -1 \leqq \dfrac{k}{3} \leqq -\dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad \underline{-3 \leqq k \leqq -\dfrac{3}{2}} \end{gather}\]