関数
\[
f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\pi} \left| \sin (t-x) -\sin 2t \right| \, dt
\]
の区間 \(0 \leqq x \leqq \pi\) における最大値と最小値を求めよ.
【 解 答 】
\(g(x) = \sin (t-x) -\sin 2t\) とおく.
和・積の公式を用いると
\[\begin{align}
g(x) & = 2 \cos \dfrac{(t-x) +2t}{2} \, \sin \dfrac{(t-x) -2t}{2} \\
& = -2 \underline{\cos \dfrac{3t -x}{3}} _ {[1]} \, \underline{\sin \dfrac{t+x}{2}} _ {[2]} \ .
\end{align}\]
\(0 \leqq x \leqq \pi\) , \(0 \leqq t \leqq \pi\) に注意して, [1] [2] の符号について考える.
[1] については
\(-\dfrac{\pi}{2} \leqq \dfrac{3t -x}{2} \leqq \dfrac{\pi}{2}\) すなわち \(\dfrac{x -\pi}{3} \leqq 0 \leqq t \leqq \dfrac{x +\pi}{3}\) のとき
\[
[1] \geqq 0 \ .
\]
\(\dfrac{\pi}{2} \leqq \dfrac{3t -x}{2} \leqq \dfrac{3 \pi}{2}\) すなわち \(\dfrac{x +\pi}{3} \leqq t \leqq \pi \leqq x +\dfrac{\pi}{3}\) のとき
\[
[1] \leqq 0 \ .
\]
[2] については, 常に \(0 \leqq \dfrac{t+x}{2} \leqq \pi\) なので
\[
[2] \geqq 0 \ .
\]
以上より, \(\alpha = \dfrac{x +\pi}{3}\) とおけば
\[
f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} g(t) \, dt - \displaystyle\int _ {\alpha}^{\pi} g(t) \, dt \ .
\]
ここで, \(G(t) = \displaystyle\int g(t) \, dt\) とおくと
\[
G(t) = \cos (t-x) -\dfrac{1}{2} \cos 2t +C \quad ( \ C \ \text{は積分定数})
\]
であり
\[\begin{align}
G( \alpha ) & = \cos ( \alpha -x ) -\dfrac{1}{2} \cos 2 \alpha +C \\
& = \cos \dfrac{\pi -2x}{3} -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2 ( \pi +x )}{3} \ , \\
G(0) & = \cos x -\dfrac{1}{2} +C \ , \\
G( \pi ) & = -\cos x -\dfrac{1}{2} +C \ .
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
f(x) & = 2 G( \alpha ) -G(0) -G( \pi ) \\
& = 2 \left( \dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} \right) \\
& \qquad -\left( -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} \right) \\
& \qquad \qquad -\cos x +\dfrac{1}{2} +\cos x +\dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{3}{2} \cos \dfrac{2x}{3} +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} +1 \\
& = \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} +\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} \right) +1 \\
& = 3 \sin \underline{\left( \dfrac{2x}{3} +\dfrac{\pi}{6} \right)} _ {[3]} +1 \ .
\end{align}\]
\(\dfrac{\pi}{6} \leqq [3] \leqq \dfrac{5 \pi}{6}\) なので
最大値は, \(f \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 3 \cdot 1 +1 = \underline{4}\) .
最小値は, \(f \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = f \left( \dfrac{5 \pi}{6} \right) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} +1 = \underline{\dfrac{5}{2}}\) .