\(a , b\) を実数とする. 曲線 \(y = ax^2 +bx +1\) が \(x\) 軸の正の部分と共有点を持たないような点 \(( a , b )\) の領域を図示せよ.
【 解 答 】
\(f(x) = ax^2 +bx +1\) とおく.
\(f(x) = 0\) が正の解をもたない条件を考えればよい.
1* \(a = 0\) のとき \[ f(x) = bx +1 \] つまり, \(f(x)\) は高々 \(1\) 次の関数であり, \(f(0) = 1 \gt 0\) なので, 条件をみたすのは \[ b \geqq 0 \quad ... [1] \]
2* \(a \neq 0\) のとき
\(2\) 次方程式 \(f(x) = 0\) の判別式を \(D\) とおけば\(D \lt 0\) のとき
\(f(x) = 0\) は解をもたないので, 条件をみたす. \[\begin{align} D = b^2 -4a & \lt 0 \\ \text{∴} \quad a & \gt \dfrac{b^2}{4} \quad ... [2] \end{align}\]\(D \geqq 0\) のとき
\(f(x) = 0\) の \(2\) 解がともに \(0\) 以下であればよいので, 解と係数の関係より \[\begin{align} -\dfrac{b}{a} \leqq 0 \ & \text{かつ} \ \dfrac{1}{a} \geqq 0 \\ ab \geq0 \ & \text{かつ} \ a \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a \neq 0 \ ) \\ \text{∴} \quad a \gt 0 \ & \text{かつ} \ b \geqq 0 \quad ... [3] \end{align}\]
以上より, 求める条件は [1] または [2] または [3] であり, 図示すると, 下図斜線部（実線の境界と●を含み, 点線の境界は含まない）.
