\(a , b\) を \(0 \lt a \lt 1\) , \(0 \lt b \lt 1\) を満たす実数とする. 平面上の三角形 ABC を考え, 辺 AB を \(a : 1-a\) に内分する点を P , 辺 BC を \(b : 1-b\) に内分する点を Q , 辺 CA の中点を R とし, 三角形 ABC の面積を \(S\) , 三角形 PQR の面積を \(T\) とする.
(1) \(\dfrac{T}{S}\) を \(a , b\) で表せ.
(2) \(a , b\) が \(0 \lt a \lt \dfrac{1}{2}\) , \(0 \lt b \lt \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, \(\dfrac{T}{S}\) がとりうる値の範囲を求めよ.
(3) \(p , q\) を \(3\) 以上の整数とし, \(a = \dfrac{1}{p}\) , \(b = \dfrac{1}{q}\) とする. \(\dfrac{T}{S}\) の逆数 \(\dfrac{S}{T}\) が整数となるような \(p , q\) の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ \triangle \text{PBQ} = (1-a) b S \ , \ \triangle \text{QCR} = \dfrac{1-b}{2} S \ , \ \triangle \text{RAP} = \dfrac{a}{2} S \] なので \[\begin{align} T & = S -\triangle \text{PBQ} -\triangle \text{QCR} -\triangle \text{RAP} \\ & = \left\{ 1 -(1-a) b -\dfrac{1-b}{2} -\dfrac{a}{2} \right\} S \\ & = \dfrac{2ab -a -b +1}{2} S \end{align}\] よって \[ \dfrac{T}{S} = \underline{\dfrac{2ab -a -b +1}{2}} \]
(2)
\[ \dfrac{T}{S} = \dfrac{( 2a -1 ) ( 2b -1 ) +1}{4} \] 条件より \(0 \lt 2a -1 \lt 1\) , \(0 \lt 2b -1 \lt 1\) なので \[ \underline{\dfrac{1}{4} \lt \dfrac{T}{S} \lt \dfrac{1}{2}} \]
(3)
\(p \geqq 3\) , \(q \geqq 3\) ... [1] ならば, \(0 \lt \dfrac{1}{p} \lt \dfrac{1}{2}\) , \(0 \lt \dfrac{1}{q} \lt \dfrac{1}{2}\) なので, (2) の結果より \[ \dfrac{1}{4} \lt \dfrac{T}{S} \lt \dfrac{1}{2} \] ゆえに \[ 2 \lt \dfrac{S}{T} \lt 4 \] なので, \(\dfrac{S}{T}\) が整数ならば \[ \dfrac{S}{T} = 3 \] これをとくと \[\begin{align} \dfrac{2}{2ab -a -b +1} & = 3 \\ \dfrac{2pq}{pq -p -q +2} & = 3 \\ pq -3p -3q +6 & = 0 \\ ( p-3 ) ( q-3 ) & = 3 \end{align}\] [1] に注意すれば \[ ( p , q ) = \underline{( 6 , 4 ) , ( 4 , 6 )} \]