正八角形 \(\text{A}{} _ {1} \text{A}{} _ {2} \cdots \text{A}{} _ {8}\) について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(3\) 個の頂点を結んでできる三角形のうち, 直角三角形であるものの個数を求めよ.
(2) \(3\) 個の頂点を結んでできる三角形のうち, 直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めよ.
(3) \(4\) 個の頂点を結んでできる四角形のうち, 次の条件 (＊) を満たすものの個数を求めよ.
- (＊) 四角形の \(4\) 個の頂点から \(3\) 点を選んで直角三角形を作れる.
【 解 答 】
(1)
正八角形は円に内接するので, 選んだ \(3\) 点に, 向かい合う頂点の組が含まれていれば, 直角三角形になる.
よって, 向かい合う \(4\) 組の頂点と, 他の \(6\) 点から \(1\) つを選べばよいので, 求める個数は
\[
4 \cdot 6 = \underline{24}
\]
(2)
二等辺三角形になるのは, \(1\) つの頂点を決めて, 底角となる \(3\) 組の頂点を選べばよく, その個数は
\[
8 \cdot 3 = 24
\]
\(3\) 組のうちの \(1\) 組は直角二等辺三角形となり, その個数は \(8\) .
三角形は全部で
\[
{} _ {8} \text{C}{} _ {3} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 !} = 56 \ \text{個}
\]
あるので, (1) の結果も用いて, 求める個数は
\[
56 -24 -24 +8 = \underline{16}
\]
(3)
\(4\) 点に, 向かい合う角の組が含まれていると, 条件をみたす.
条件をみたさないものを考えると, 向かい合う \(4\) 組の点から \(1\) つずつ選べばよいので
\[
2^4 = 16 \ \text{個}
\]
四角形は全部で
\[
{} _ {8} \text{C}{} _ {4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 !} = 70 \ \text{個}
\]
あるので, 求める個数は
\[
70 -16 = \underline{54}
\]