座標平面において, 次の条件 (＊) を満たす直線 \(\ell\) を考える.
- (＊) \(\ell\) の傾きは \(1\) で, 曲線 \(y = x^3 -2x\) と異なる \(3\) 点で交わる.
その交点を \(x\) 座標が小さなものから順に P, Q, R とし, さらに線分 PQ の中点を S とする.
(1) 点 R の座標を \(( a , a^3 -2x )\) とするとき, 点 S の座標を求めよ.
(2) 直線 \(\ell\) が条件 (＊) を満たしながら動くとき, 点 S の軌跡を求めよ.
(3) 直線 \(\ell\) が条件 (＊) を満たしながら動くとき, 線分 PS が動いてできる領域の面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\ell : \ y = x+k\) とおくと, 曲線の式から \(y\) を消去して
\[\begin{align}
x^3 -2x & = x +k \\
\text{∴} \quad x^3 -3x -k & = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
P, Q の \(x\) 座標を \(p , q\) とおけば, これらと \(a\) が [1] の \(3\) 解なので, 解と係数の関係より
\[
\left\{ \begin{array}{ll} p +q +a = 0 & ... [2] \\ pq +a ( p+q ) = -3& ... [3] \\ apq = k & ... [4] \end{array} \right.
\]
[2] より, \(p+q = -a\) .
[3] に代入すれば
\[\begin{align}
pq -a^2 & = -3 \\
\text{∴} \quad pq & = a^2 -3
\end{align}\]
[4] に代入して
\[
k = a ( a^2 -3 )
\]
点 S の \(x\) 座標は \(\dfrac{p+q}{2} = -\dfrac{a}{2}\) で, \(\ell\) 上の点なので, \(y\) 座標は
\[
-\dfrac{a}{2} +a ( a^2 -3 ) = a^3 -\dfrac{7a}{2}
\]
よって, 求める座標は
\[
\underline{\left( -\dfrac{a}{2} , a^3 -\dfrac{7a}{2} \right)}
\]
(2)
[1] の左辺を \(f(x)\) とおくと \[ f'(x) = 3x^2 -3 = 3 (x+1) (x-1) \] ゆえに, \(f(x)\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 2-k & \searrow & -2-k & \nearrow \end{array} \] したがって, [1] が異なる \(3\) 実数解をもつ条件は \[\begin{align} 2-k \gt 0 \ & \text{かつ} \ -2-k \lt 0 \\ -2 & \lt a ( a^2 -3 ) \lt 2 \\ a^3 -3a +2 \gt 0 \ & \text{かつ} \ a^3 -3a -2 \lt 0 \\ (a-1) ( a^2 +a +2 ) \gt 0 \ & \text{かつ} \ (a+1)^2 (a-2) \lt 0 \end{align}\] \(a^2 +a +2 = \left( a +\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{7}{4} \gt 0\) , \((a+1)^2 \gt 0\) なので \[\begin{align} a-1 \gt 0 \ & \text{かつ} \ a-2 \lt 0 \\ \text{∴} \quad & 1 \lt a \lt 2 \quad ... [5] \end{align}\] 点 S \(( X , Y )\) とおけば, (1) の結果より, \(X = -\dfrac{a}{2}\) なので \[ a = -2X \] ゆえに \[ Y = (-2X)^3 +\dfrac{7}{2} \cdot 2X = -8 X^3 +7X \] また, [5] より \[\begin{align} 1 & \lt -2X \lt 2 \\ \text{∴} \quad -1 & \lt X \lt -\dfrac{1}{2} \end{align}\] よって, 求める軌跡は \[ \underline{\text{曲線} \ : \ y = -8x^3 +7x \ \left( -1 \lt x \lt -\dfrac{1}{2} \right)} \](3)
[5] より \(\ell\) は \(y = x-2\) から \(y = x+2\) まで動き,点 S の \(x\) 座標は \(-\dfrac{1}{2}\) から \(-1\) に変化する.
点 S の軌跡の式と \(y = x-2\) から \[\begin{align} -8x^3 +7x & = x-2 \\ 4x^3 -6x -1 & = 0 \\ ( 2x +1 )^2 (x-1) & = 0 \\ \text{∴} \quad x & = -\dfrac{1}{2} , 1 \end{align}\] したがって, 線分 PS の動く領域は下図斜線部.
よって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-2}^{-1} \left\{ ( x^3 -2x ) -(x-2) \right\} \, dx \\ & \qquad +\displaystyle\int _ {-1}^{-\frac{1}{2}} \left\{ ( -8x^3 +7x ) -(x-2) \right\} \, dx \\ & = \displaystyle\int _ {-2}^{-1} ( x^3 -3x +2 ) \, dx +2 \displaystyle\int _ {-1}^{-\frac{1}{2}} ( -4x^3 +3x +1 ) \, dx \\ & = \left[ \dfrac{x^4}{4} -\dfrac{3}{2} x^2 +2x \right] _ {-2}^{-1} +2 \left[ -x^4 +\dfrac{3}{2} x^2 +x \right] _ {-1}^{-\frac{1}{2}} \\ & = -\dfrac{13}{4} +6 -\dfrac{3}{8} +1 \\ & = \underline{\dfrac{27}{8}} \end{align}\]