以下の問いに答えよ.
(1) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の等式が成り立つことを示せ. ただし, \(e\) は自然対数の底とする. \[ e^a = 1 +a +\dfrac{a^2}{2 !} +\cdots +\dfrac{a^n}{n !} +\displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \]
(2) 正の実数 \(a\) と正の整数 \(n\) に対して次の不等式を示せ. \[ \dfrac{a^{n+1}}{(n+1) !} \leqq \displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \leqq \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1) !} \]
(3) 不等式 \[ \left| e -\left( 1 +1 +\dfrac{1}{2 !} +\cdots +\dfrac{1}{n !} \right) \right| \lt 10^{-3} \] を満たす最小の正の整数 \(n\) を求めよ. 必要ならば \(2 \lt e \lt 3\) であることは証明なしに用いてもよい.
【 解 答 】
(1)
示したい式を [A] とおき, 帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1\) のとき \[\begin{align} \displaystyle\int _ {0}^{a} (a-x) e^x \, dx & = \left[ (a-x) e^x \right] _ {0}^{a} +\displaystyle\int _ {0}^{a} e^x \, dx \\ & = -a +\left[ e^x \right] _ {0}^{a} = e^a -1 -a \end{align}\] ゆえに, [A] が成立する.
2* \(n = k\) のとき [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} \displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^{k+1}}{(k+1) !} e^x \, dx & = \left[ \dfrac{(a-x)^{k+1}}{(k+1) !} e^x \right] _ {0}^{a} +\displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^k}{k !} e^x \, dx \\ & = -\dfrac{a^{k+1}}{(k+1) !} +e^a -\left( 1 +a +\cdots +\dfrac{a^k}{k !} \right) \end{align}\] ゆえに, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.
(2)
\(0 \leqq x \leqq a\) において, \(a-x \geqq 0\) , \(1 \leqq e^x \leqq e^a\) なので \[ \dfrac{(a-x)^n}{n !} \leqq \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \leqq \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^a \] \(\displaystyle\int _ {0}^{a} (a-x)^n \, dx = \dfrac{a^n}{n+1}\) なので, 辺々を \(x\) について \(0 \rightarrow a\) で積分すれば \[ \dfrac{a^{n+1}}{(n+1) !} \leqq \displaystyle\int _ {0}^{a} \dfrac{(a-x)^n}{n !} e^x \, dx \leqq \dfrac{e^a a^{n+1}}{(n+1) !} \]
(3)
\(S_n = e -\left( 1 +1 +\dfrac{1}{2 !} +\cdots +\dfrac{1}{n !} \right)\) とおく.
(1) (2) の結果について, \(a=1\) とすれば
\[
\dfrac{1}{(n+1) !} \leqq S_n \leqq \dfrac{e}{(n+1) !}
\]
これを用いれば, \(n = 5\) のとき
\[
S_5 \geqq \dfrac{1}{6 !} = \dfrac{1}{720} \gt 10^{-3}
\]
\(n = 6\) のとき, \(e \lt 3\) も用いて
\[
S_6 \leqq \dfrac{e}{7 !} \lt \dfrac{1}{1680} \lt 10^{-3}
\]
\(S_n\) は \(n\) の減少関数で, \(S_5 \gt 10^{-3} \gt S_6\) だから, 求める \(n\) の値は
\[
n = \underline{6}
\]