座標平面において原点を中心とする半径 \(2\) の円を \(C _ 1\) とし, 点 \((1,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C _ 2\) とする. また, 点 \((a,b)\) を中心とする半径 \(t\) の円が \(C _ 3\) が, \(C _ 1\) に内接し, かつ \(C _ 2\) に外接すると仮定する. ただし, \(b\) は正の実数とする.
(1) \(a , b\) を \(t\) を用いて表せ. また, \(t\) がとり得る値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(b\) の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(C _ 2 , C _ 3\) の中心をそれぞれ A , B とおくと \[\begin{align} \text{OB} = \sqrt{a^2+b^2} & = 2-t \\ \text{∴} \quad a^2+b^2 & = (2-t)^2 \quad ... [1] , \\ \text{AB} = \sqrt{(a-1)^2+b^2} & = 1+t \\ \text{∴} \quad (a-1)^2+b^2 & = (1+t)^2 \quad ... [2] \end{align}\] \([1] -[2]\) より \[\begin{align} 2a-1 & = 3-6t \\ \text{∴} \quad a & = \underline{2-3t} \end{align}\] [1] に代入して, \(b \gt 0\) なので \[\begin{align} b & = \sqrt{(2-t)^2-(2-3t)^2} \\ & = \underline{\sqrt{8t(1-t)}} \end{align}\] \(b\) が実数なので根号内は正だから, \(t\) のとり得る値の範囲は \[ \underline{0 \lt t \lt 1} \]
(2)
(1) の結果より \[ t = \dfrac{2-a}{3} \] なので \[\begin{align} b^2 & = \dfrac{1}{9} ( -8a^2+8a+16 ) \\ & = \dfrac{8}{9} \left\{ -\left( a -\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{9}{4} \right\} \\ & \leqq \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{9}{4} = 2 \end{align}\] よって, \(b\) は \(a = \dfrac{1}{2}\) のとき, 最大値 \(\underline{\sqrt{2}}\) をとる.