O を原点とする座標平面上に点 A \(( -3 , 0 )\) をとり, \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) の範囲にある \(\theta\) に対して, 次の条件 (i) , (ii) をみたす \(2\) 点 B , C を考える.
(i) B は \(y \gt 0\) の部分にあり, \(\text{OB} = 2\) かつ \(\angle \text{AOB} = 180^{\circ} -\theta\) である.
(ii) C は \(y \lt 0\) の部分にあり, \(\text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{BOC} = 120^{\circ}\) である.
以下の問 (1) , (2) に答えよ.
(1) △OAB と △OAC の面積が等しいとき, \(\theta\) の値を求めよ.
(2) \(\theta\) を \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) の範囲で動かすとき, △OAB と △OAC の面積の和の最大値と, そのときの \(\sin \theta\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ \angle \text{AOC} = 180^{\circ} -( 120^{\circ} -\theta ) = \theta +60^{\circ} \] なので \[\begin{align} \triangle \text{OAB} & = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \sin ( 180^{\circ} -\theta ) = 3 \sin \theta , \\ \triangle \text{OAC} & = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 \sin ( \theta +60^{\circ} ) \\ & = \dfrac{3}{4} \left( \sin \theta +\sqrt{3} \cos \theta \right) \end{align}\] したがって, 条件より \[\begin{align} 3 \sin \theta & = \dfrac{3}{4} \left( \sin \theta +\sqrt{3} \cos \theta \right) \\ 3 \sin \theta & = \sqrt{3} \cos \theta \\ \text{∴} \quad \tan \theta & = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{align}\] \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) より \[ \theta = \underline{30^{\circ}} \]
(2)
△OAB と △OAC の面積の和を \(S\) とおくと \[\begin{align} S & = \dfrac{3}{4} \left( 5 \sin \theta +\sqrt{3} \cos \theta \right) \\ & = \dfrac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{7} \sin ( \theta +\alpha ) \\ & = \dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \sin ( \theta +\alpha ) \\ \text{∴} \quad & -\dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \leqq S \leqq \dfrac{3 \sqrt{7}}{2} \end{align}\] ここで \[ \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} , \ \cos \alpha = \dfrac{5}{2 \sqrt{7}} \] よって \[\begin{align} \sin \theta & = \sin ( 90^{\circ} -\alpha ) \\ & = \cos \alpha = \underline{\dfrac{5 \sqrt{7}}{14}} \end{align}\] のときに, 最大値 \(\underline{\dfrac{3 \sqrt{7}}{2}}\) をとる.