\(p , q\) を \(2\) つの正の整数とする. 整数 \(a , b , c\) で条件 \[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p , \quad b \leqq c \leqq a \] を満たすものを考え, このような \(a , b , c\) を \([ a , b ; c ]\) の形に並べたものを \(( p , q )\) パターンと呼ぶ. 各 \(( p , q )\) パターン \([ a , b ; c ]\) に対して \[ w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) \] とおく.

1. (1)　\(( p , q )\) パターンのうち, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -q\) となるものの個数を求めよ. また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p\) となる \(( p , q )\) パターンの個数を求めよ.

以下 \(p=q\) の場合を考える.

2. (2)　\(s\) を整数とする. \(( p , p )\) パターンで \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) となるものの個数を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) = -q\) のとき \[ a+b = p \] \(b \leqq 0 \leqq a \leqq p\) なので \[ ( a , b ) = ( p , 0 ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(0 \leqq c \leqq p\) なので, \(c = 0 , 1 , \cdots p\) .
よって, \(( p , q )\) パターンは \(\underline{p+1}\) 個.
また, \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = p -q -( a+b ) = p\) のとき \[ a+b = -q \] \(-q \leqq b \leqq 0 \leqq a\) なので \[ ( a , b ) = ( 0 , -q ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(-q \leqq c \leqq 0\) なので, \(c = -q , -q+1 , \cdots 0\) .
よって, \(( p , q )\) パターンは \(\underline{q+1}\) 個.

(2)

\(p=q\) かつ \(w \left( [ a , b ; c ] \right) = -p+s\) のとき \[ a+b = -p+s \]

1. 1*　\(0 \leqq s \leqq p\) のとき
   \(-p \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p\) なので \[ ( a , b ) = ( k , -p+s-k ) \quad ( k = 0 , 1 , \cdots , s ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(-p+s-k \leqq c \leqq k\) なので, \(c = -p+s-k , -p+s+k-1 , \cdots , k\) だから, \(c\) の値は \[ k -( -p+s-k ) +1 = 2k+p-s+1 \ \text{通り} \] ゆえに, \(( p , p )\) パターンは \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^s ( 2k+p-s+1 ) & = s( s+1 ) +( s+1 )( p-s+1 ) \\ & = ( p+1 )( s+1 ) \ \text{個} \end{align}\]

2. 2*　\(p+1 \leqq s \leqq 2p\) のとき
   \(-p \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p\) なので \[ ( a , b ) = ( s-p+k , -k ) \quad ( k = 0 , 1 , \cdots , 2p-s ) \] \(b \leqq c \leqq a\) すなわち \(-k \leqq c \leqq -p+s+k\) なので \(c = -k , -k+1 , \cdots , -p+s-k\) だから, \(c\) の値は \[ ( -p+s+k ) -( -k ) +1 = 2k-p+s+1 \ \text{通り} \] ゆえに, \(( p , p )\) パターンは \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=0}^{2p-s} & ( 2k-p+s+1 ) \\ & = ( 2p-s )( 2p-s+1 ) +( 2p-s+1 )( s-p+1 ) \\ & = ( p+1 )( 2p-s+1 ) \quad \text{個} \end{align}\]

3. 3*　\(s \lt 0 , 2p \lt s\) のとき
   \(( p , p )\) パターンは \(0\) 個.

1*～3*より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} ( p+1 )( s+1 ) & ( \ 0 \leqq s \leqq p \ \text{のとき} \ ) \\ ( p+1 )( 2p-s+1 ) & ( \ p+1 \leqq s \leqq 2p \ \text{のとき} \ ) \\ 0 & ( \ s \lt 0 , 2p \lt s \ \text{のとき} \ ) \end{array} \right.} \]