実数 \(t\) は \(0 \lt t \lt 1\) を満たすとし, 座標平面上の \(4\) 点O \((0,0)\) , A \((0,1)\) , B \((1,0)\) , C \((t,0)\) を考える. また線分 AB 上の点 D を \(\angle \text{ACO} = \angle \text{BCD}\) となるように定める. \(t\) を動かしたときの三角形 ACD の面積の最大値を求めよ.
【 解 答 】
AC の傾きは \(-\dfrac{1}{t}\) なので, CD の傾きは \(\dfrac{1}{t}\) である.
したがって
\[
\text{CD} : \ y = \dfrac{1}{t} (x-t)
\]
これと \(\text{AB} : \ y = 1-x\) とより
\[\begin{align}
\dfrac{1}{t} (x-t) & = 1-x \\
x-t & = t -tx \\
\text{∴} \quad x & = \dfrac{2t}{1+t}
\end{align}\]
AB の式より
\[
y = 1-\dfrac{2t}{1+t} = \dfrac{1-t}{1+t}
\]
したがって, D \(\left( \dfrac{2t}{1+t} , \dfrac{1-t}{1+t} \right)\) .
△ACD の面積を \(S(t)\) とおくと
\[\begin{align}
S(t) &= \dfrac{1}{2} (1-t) \left( 1 -\dfrac{1-t}{1+t} \right) \\
& = \dfrac{1-t^2 -(1-t)^2}{2(1+t)} \\
& = \dfrac{t-t^2}{1+t} \\
& = -t+2 -\dfrac{2}{1+t} \\
& = 3 -\left( 1+t +\dfrac{2}{1+t} \right)
\end{align}\]
ここで相加相乗平均の関係を用いれば
\[\begin{align}
S(t) & \leqq 3 -2 \sqrt{(1+t) \cdot \dfrac{2}{1+t}} \\
& =3-2 \sqrt{2}
\end{align}\]
等号成立は,
\[\begin{align}
1+t & = \dfrac{2}{1+t} \\
\text{∴} \quad t & = \sqrt{2} -1 \quad ( \ \text{∵} \ 0 \lt t \lt 1\ )
\end{align}\]
のときである.
よって, 求める最大値は
\[
\underline{3 -2 \sqrt{2}}
\]