関数 \(y = x(x-1)(x-3)\) のグラフを \(C\) , 原点 O を通る傾き \(t\) の直線を \(\ell\) とし, \(C\) と \(\ell\) が O 以外に共有点をもつとする. \(C\) と \(\ell\) の共有点を O , P , Q とし, \(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の積を \(g(t)\) とおく. ただし, それら共有点の \(1\) つが接点である場合は, O , P , Q のうち \(2\) つが一致して, その接点であるとする. 関数 \(g(t)\) の増減を調べ, その極値を求めよ.
【 解 答 】
まず, \(C\) と \(\ell\) が O 以外に共有点をもつ条件を考える.
\(\ell : \ y = tx\) と \(C\) の式から \(y\) を消去すると
\[\begin{align}
x(x-1)(x-3) & = tx \\
\text{∴} \quad x ( x^2-4x-t+3 ) & = 0
\end{align}\]
したがって
\[
x^2-4x-t+3 = 0 \quad ... [1]
\]
が \(0\) 以外の解を持てばよい.
[1] に \(x=0\) を代入すると
\[\begin{align}
-t +3 & = 0 \\
\text{∴} \quad t & = 3
\end{align}\]
このとき, [1] に代入して
\[\begin{align}
x^2 -4x & = 0 \\
x (x-4) &= 0 \\
\text{∴} \quad x & = 0 , 4
\end{align}\]
なので, \(x=0\) 以外に解をもつ.
\(t \neq 3\) のとき, [1] の判別式 \(D\) について
\[\begin{align}
\dfrac{D}{4} = 2^2 & -(-t+3) \geqq 0 \\
\text{∴} \quad t & \geqq -1
\end{align}\]
したがって, 以下では \(t \geqq -1\) のもとで考える.
P , Q の \(x\) 座標を \(p , q\) とおけば, [1] と解と係数の関係から
\[
p+q = 4 , \ pq = -t+3 \quad ... [2]
\]
[2] を用いると
\[\begin{align}
g(t) & = |p| \sqrt{1+t^2} \cdot |q| \sqrt{1+t^2} \\
& = | pq | \left( 1+t^2 \right) \\
& = | t-3 | \left( 1+t^2 \right) \\
& = \left\{ \begin{array}{ll} (t-3) \left( 1+t^2 \right) & ( t \geqq 3 \text{のとき} ) \\ -(t-3) \left( 1+t^2 \right) & ( -1 \leqq t \lt 3 \text{のとき} ) \end{array} \right.
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
g'(t) & = \pm \left\{ \left( 1+t^2 \right) +2t (t-3) \right\} \\
& = \pm \left( 3t^2 -6t +1 \right)
\end{align}\]
\(g'(t) = 0\) をとくと
\[
t = \dfrac{3 \pm \sqrt{3^2 -3}}{3} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}
\]
\(-1 \lt 1 -\dfrac{\sqrt{6}}{3} \lt 1 +\dfrac{\sqrt{6}}{3} \lt 3\) であり
\[\begin{align}
\left| g \left( 1 \pm \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right) \right| & = \left| \left( -2 \pm \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right) \left( \dfrac{8}{3} \pm \dfrac{2 \sqrt{6}}{3} \right) \right|\\
& = \left| -\dfrac{16}{3} +\dfrac{4}{3} \pm \left( \dfrac{8}{9} -\dfrac{4}{3} \right) \right| \\
& = \left| -4 \mp \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right| , \\
g(3) & = 0 , \ g( -1 ) = 4 \cdot 2 = 8
\end{align}\]
以上より, \(g(t)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|cccccccc} t & -1 & \cdots & 1 -\dfrac{\sqrt{6}}{3} & \cdots & 1 +\dfrac{\sqrt{6}}{3} & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & 0 & - & & + \\ \hline g(t) & 8 & \searrow & 4 -\dfrac{\sqrt{6}}{3} & \nearrow & 4 +\dfrac{\sqrt{6}}{3} & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}
\]
よって, 求める極値は
\[
\underline{g \left( 1 -\dfrac{\sqrt{6}}{3} \right) = 4 -\dfrac{\sqrt{6}}{3} , \ g \left( 1 +\dfrac{\sqrt{6}}{3} \right) = 4 +\dfrac{\sqrt{6}}{3} , \ g(3) = 0}
\]