座標平面上の \(3\) 点 \[ \text{P} \left( 0 , -\sqrt{2} \right) , \ \text{Q} \left( 0 , \sqrt{2} \right) , \ \text{A} \left( a , \sqrt{a^2+1} \right) \quad ( 0 \leqq a \leqq 1 ) \] を考える.
(1) \(2\) つの線分の長さの差 \(\text{PA} -\text{AQ}\) は \(a\) によらない定数であることを示し, その値を求めよ.
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線 \(y = \dfrac{\sqrt{2}}{8} x^2\) との交点をBとする. 点Bから直線 \(y=2\) へ下ろした垂線と直線 \(y=2\) との交点をCとする. このとき, 線分の長さの和 \[ \text{PA} +\text{AB} +\text{BC} \] は \(a\) によらない定数であることを示し, その値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} \text{PA} & = \sqrt{a^2 +\left( \sqrt{a^2 +1} +\sqrt{2} \right)^2} \\ & = \sqrt{2a^2 +3 +2 \sqrt{2 \left( a^2 +1 \right)}} \\ & = \sqrt{\left( \sqrt{a^2 +1} +\sqrt{2} \right)^2} \\ & = \sqrt{a^2 +1} +\sqrt{2} \end{align}\] 同様に考えると \[ \text{AQ} = \sqrt{a^2 +1} -\sqrt{2} \] よって \[ \text{PA} -\text{AQ} = 2 \sqrt{2} = ( \text{一定} ) \]
(2)
B \(\left( t , \dfrac{\sqrt{2} t^2}{8} \right)\) とおける. \[ \text{BC} = 2 -\dfrac{\sqrt{2} t^2}{8} \quad ... [1] \] 直線 AQ の式は \[\begin{align} y & = \dfrac{\sqrt{a^2 +1} -\sqrt{2}}{a} x +\sqrt{2} \\ & = \dfrac{\text{AQ}}{a} x +\sqrt{2} \end{align}\] \(\text{AQ} : \text{QB} = a : t\) なので \[\begin{align} \text{AB} & = \dfrac{t-a}{a} \text{AQ} \\ & = \left( \dfrac{t}{a} -1 \right) \text{AQ} \quad ... [2] \end{align}\] B は AQ 上の点なので \[ \dfrac{\sqrt{2} t^2}{8} = \dfrac{\text{AQ}}{a} t +\sqrt{2} \] したがって, [1] とあわせて \[ \text{BC} = 2 -\left( \dfrac{t}{a} \text{AQ} +\sqrt{2} \right) \quad ... [3] \] [2] [3] と (1) の結果を用いれば \[\begin{align} \text{PA} +\text{AB} +\text{BC} & = \text{PA} -\text{AQ} +2 -\sqrt{2} \\ & = \underline{\sqrt{2} +2} = ( \text{一定} ) \end{align}\]