\(a , b\) を実数の定数とする. 実数 \(x , y\) が \[ x^2 +y^2 \leqq 25 , \ 2x+y \leqq 5 \] をともにみたすとき, \(z = x^2+y^2-2ax-2by\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
与えられた不等式をみたす領域 \(D\) は, 下図斜線部（境界含む）.
定点 A \(( a , b )\) に対して, \(D\) に含まれる点 P \(( x , y )\) とおくと
\[\begin{align}
z & = (x-a)^2 +(y-b)^2 -\left( a^2 +b^2 \right) \\
& = \text{AP}^2 -\text{OA}^2
\end{align}\]
したがって, AP が最小となるときに \(z\) も最小になる.
AP の最小値を \(m\) とおく.
\(D\) の形状に注意して, 点Aの位置によって場合分けして考える.
(A) \(a^2 +b^2 \leqq 25\) , \(2a+b \leqq 5\) のとき \[ m = 0 \] ゆえに, \(z\) の最小値は \[ m^2 -\left( a^2 +b^2 \right) = -\left( a^2 +b^2 \right) \]
(B) \(a^2 +b^2 \gt 25\) かつ 「 \(a \leqq 0\) または \(b \leqq -\dfrac{3a}{4}\) 」のとき \[ m = \sqrt{a^2 +b^2} -5 \] ゆえに, \(z\) の最小値は \[ m^2 -\left( a^2 +b^2 \right) = 25 -10 \sqrt{a^2 +b^2} \]
(C) \(2a+b \gt 5\) , \(\dfrac{a}{2} -5 \leqq b \leqq \dfrac{a}{2} +5\) のとき \[ m = \dfrac{| 2a+b-5 |}{\sqrt{2^2 +1^2}} = \dfrac{( 2a+b-5 )}{\sqrt{5}} \] ゆえに, \(z\) の最小値は \[\begin{align} m^2 -\left( a^2 +b^2 \right) & = \dfrac{( 2a+b-5 )^2}{5} -\left( a^2 +b^2 \right) \\ & = 5 +4a -2b -\dfrac{(a-2b)^2}{5} \end{align}\]
(D) \(a \gt 0\) , \(b \gt \dfrac{a}{2} +5\) のとき \[ m = \sqrt{a^2 +(b-5)^2} \] ゆえに, \(z\) の最小値は \[ m^2 -\left( a^2 +b^2 \right) = 25 -10b \]
(E) \(-\dfrac{3a}{4} \lt b \lt \dfrac{a}{2} -5\) のとき \[ m = \sqrt{(a-4)^2 +(b+3)^2} \] ゆえに, \(z\) の最小値は \[ m^2 -\left( a^2 +b^2 \right) = 25 -4a +6b \]
以上より, \(z\) の最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} -\left( a^2 +b^2 \right) & \left( \ x^2 +y^2 \leqq 25 , \ 2x+y \leqq 5 \text{のとき} \right) \\ 25 -10 \sqrt{a^2 +b^2} & \left( \ a^2 +b^2 \gt 25 \text{かつ 「} a \leqq 0 \text{または} b \leqq -\dfrac{3a}{4} \text{」 のとき} \right) \\ 5 +4a -2b -\dfrac{(a-2b)^2}{5} & \left( \ 2a+b \gt 5 , \ \dfrac{a}{2} -5 \leqq b \leqq \dfrac{a}{2} +5 \text{のとき} \right) \\ 25 -10b & \left( \ a \gt 0 , \ b \gt \dfrac{a}{2} +5 \text{のとき} \right) \\ 25 -4a +6b & \left( \ -\dfrac{3a}{4} \lt b \lt \dfrac{a}{2} -5 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]