以下の問いに答えよ.
(1) \(t\) を実数の定数とする. 実数全体を定義域とする関数 \(f(x)\) を \[ f(x) = -2x^2 +8tx -12x +t^3 -17t^2 +39t -18 \] と定める. このとき, 関数 \(f(x)\) の最大値を \(t\) を用いて表せ.
(2) (1) の「関数 \(f(x)\) の最大値」を \(g(t)\) とする. \(t\) が \(t \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) の範囲を動くとき, \(g(t)\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f(x) & = -2 \left\{ x -(2t-3) \right\}^2 +2 (2t-3)^2 \\ & \qquad +t^3 -17t^2 +39t -18 \\ & = -2 \left\{ x -(2t-3) \right\}^2 +t^3 -9 t^2 +15t \end{align}\] よって, 最大値は \[ \underline{t^3 -9 t^2 +15t} \]
(2)
\[\begin{align} g'(t) & = 3t^2 -18t +15 \\ & = 3 (t-1) (t-5) \end{align}\] したがって, \(g(t)\) の増減は下のようになる. \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1 & \cdots & 5 & \cdots \\ \hline g'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline g(t) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} \] ここで \(g(5) = g(-1)\) , \(-1 \lt -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \lt 1\) なので \[ g \left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \gt g(5) \] よって, 求める最小値は \[ g(5) = \underline{-25} \]