座標平面の原点を O で表す.
線分 \(y = \sqrt{3} x \quad ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) 上の点 P と, 線分 \(y = -\sqrt{3} x \quad ( -3 \leqq x \leqq 0 )\) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が \(6\) となるように動く. このとき, 線分 PQ の通過する領域を \(D\) とする.
(1) \(s\) を \(-3 \leqq s \leqq 2\) をみたす実数とするとき, 点 \((s,t)\) が \(D\) に入るような \(t\) の範囲を求めよ.
(2) \(D\) を図示せよ.
【 解 答 】
(1)
点 P , Q の \(x\) 座標をそれぞれ \(p , q \ ( 0 \leqq p \leqq 2 , \ -3 \leqq q \leqq 0 \quad ... [1] )\) とおく.
\(\text{OP} = 2p\) , \(\text{OQ} = -2q\) なので \(p , q\) がみたす条件は
\[\begin{align}
2p -2q & = 6 \\
\text{∴} \quad q & = p-3
\end{align}\]
[1] より
\[\begin{align}
0 \leqq p \leqq 2 & , \ -3 \leqq p-3 \leqq 0 \\
\text{∴} \quad 0 & \leqq p \leqq 2 \quad ... [2]
\end{align}\]
したがって, 線分 PQ の式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{\sqrt{3} p +\sqrt{3} (p-3)}{3} ( x-p ) +\sqrt{3} p \\
& = \dfrac{2p-3}{\sqrt{3}} (x-p) +\sqrt{3} p \quad \left( p-3 \leqq x \leqq p \right)
\end{align}\]
これが, 点 \(( s , t )\) を通るとすれば
\[\begin{align}
t & = -\dfrac{2}{\sqrt{3}} p^2 +\dfrac{2 (s+3)}{\sqrt{3}} p -\sqrt{3} s \\
& = -\dfrac{2}{\sqrt{3}} \left( p -\dfrac{s+3}{2} \right)^2 +\dfrac{\sqrt{3}}{6} s^2 +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \quad ( s \leqq p \leqq s+3 \ ... [3] )
\end{align}\]
\(f(p) = t\) とおいて \(p\) の関数とみなしたとき, 直線 \(x = s\) 上の点のうち, 領域 \(D\) に含まれる部分は
\[
( \ f(p) \text{の最小値} ) \leqq t \leqq ( \ f(p) \text{の最大値} )
\]
となる.
[2] [3] に注意すると, \(f(p)\) の最大値, 最小値の候補は
\[\begin{align}
f(0) & = -\sqrt{3} s \\
& \left( \ s \leqq 0 \leqq s+3 \ \text{すなわち} \ -3 \leqq s \leqq 0 \ \text{のときのみ} \right) , \\
f(2) & = \dfrac{s}{\sqrt{3}} +\dfrac{4}{\sqrt{3}} \\
& \left( \ s \leqq 2 \leqq s+3 \ \text{すなわち} \ -1 \leqq s \leqq 2 \ \text{のときのみ} \right) , \\
f \left( \dfrac{s+3}{2} \right) & = \dfrac{\sqrt{3}}{6} s^2 +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \ ( \text{最大値のみ} ) \\
& \left( \ 0 \leqq \dfrac{s+3}{2} \leqq 2 \ \text{すなわち} \ -3 \leqq s \leqq 1 \ \text{のときのみ} \right) , \\
f(s) & = f(s+3) = \sqrt{3} s \ ( \text{最小値のみ} )\\
& \left( \ 0 \leqq s \leqq 2 \ \text{のときのみ} \right)
\end{align}\]
よって, それぞれの大小を比較すると, 求める \(t\) の範囲は
\[\begin{align}
\underline{\left\{ \begin{array}{ll} -\sqrt{3} s \leqq t \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{6} s^2 +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} & ( \ -3 \leqq s \lt 0 \text{のとき} \ ) \\ \sqrt{3} s \leqq t \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{6} s^2 +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} & ( \ 0 \leqq s \lt 1 \text{のとき} \ ) \\ \sqrt{3} s \leqq t \leqq \dfrac{s}{\sqrt{3}} +\dfrac{4}{\sqrt{3}} & ( \ 1 \leqq s \leqq 2 \text{のとき} \ ) \end{array} \right.}
\end{align}\]
(2)
領域 \(D\) は下図斜線部（境界含む）.
