以下の命題 A , B それぞれに対し, その真偽を述べよ. また, 真ならば証明を与え, 偽ならば反例を与えよ.
命題 A \(n\) が正の整数ならば, \(\dfrac{n^3}{26} +100 \geqq n^2\) が成り立つ.
命題 B 整数 \(n , m , \ell\) が \(5n +5m +3 \ell = 1\) をみたすならば, \(10nm +3m \ell +3n \ell \lt 0\) が成り立つ.
【 解 答 】
A
与式を変形して
\[
n^3 -26n^2 +2600 \geqq 0
\]
が成立するか, について考えればよい.
\(f(x) = x^3 -26x^2 +2600\) とおくと
\[
f'(x) = 3x^2 -52x = 3x \left( x -\dfrac{52}{3} \right)
\]
なので, \(x \gt 0\) における \(f(x)\) の増減は下表のとおり.
\[
\begin{array}{c|cccc} x & (0) & \cdots & \dfrac{52}{3} & \cdots \\ \hline f'(x) & (0) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow \end{array}
\]
\(n\) は整数であり, \(\dfrac{52}{3} = 17 +\dfrac{1}{3}\) なので, 最小値の候補は \(f(17) , f(18)\) .
ここで
\[\begin{align}
f(17) & = 17^2 ( 17 -26 ) +2600 \\
& = -9 \cdot 289 +2600 = -1 \lt 0
\end{align}\]
よって, 命題は \(\underline{\text{偽}}\) であり, 反例は \(n = \underline{17}\) のとき.
B
\(K = 10nm +3m \ell +3n\) とおく.
条件より \(3 \ell = 1 -5(m+n)\) ... [1] なので
\[\begin{align}
K & = 10nm +(m+n) \{ 1 -5(m+n) \} \\
& = ( m -5m^2 ) +( n -5n^2 ) \quad ... [2]
\end{align}\]
ここで, 整数 \(k\) について
\(k \neq 0\) のとき \[\begin{align} k & \leqq k^2 \lt 5k^2 \\ \text{∴} \quad & k -5k^2 \lt 0 \end{align}\]
\(k = 0\) のとき \[\begin{align} k & = 5k^2 = 0 \\ \text{∴} \quad & k -5k^2 = 0 \end{align}\]
\(m = n = 0\) のとき, [1] より \(\ell = \dfrac{1}{3}\) で整数でないから, \(n , m\) のいずれかは \(0\) ではない.
よって, [2] より
\[
K \lt 0
\]
すなわち, 命題は \(\underline{\text{真}}\) である.