(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く. この八面体を真上から見た図（平面図）を描け.
(2) 正八面体の互いに平行な \(2\) つの面をとり, それぞれの面の重心を \(\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2\) とする. \(\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2\) を通る直線を軸としてこの八面体を \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ. ただし八面体は内部も含むものとし, 各辺の長さは \(1\) とする.
【 解 答 】
(1)
(2)
\(h\) を正の実数として, \(\text{G} _ 1 , \text{G} _ 2\) が \(z\) 軸上になるように, 正八面体の \(6\) つの頂点を
\[\begin{align}
\text{A} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} , 0 , h \right) , & \quad \text{B} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{6} , \dfrac{1}{2} , h \right) , \quad \text{C} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{6} , -\dfrac{1}{2} , h \right) , \\
\text{D} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} , 0 , -h \right) , & \quad \text{E} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} , \dfrac{1}{2} , -h \right) , \quad \text{F} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} , -\dfrac{1}{2} , -h \right)
\end{align}\]
とおく.
\(\text{AE} =1\) なので
\[\begin{align}
\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} \right)^2 + & \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 +(2h)^2 =1 \\
4h^2 & =\dfrac{2}{3} \\
\text{∴} \quad h & =\dfrac{\sqrt{6}}{6}
\end{align}\]
対称性から \(z \geqq 0\) の領域について考えればよい.
平面 \(z = t \quad ( 0 \leqq t \leqq h )\) と AE の交点を P とおけば, P は AE を \((h-t) : (h+t)\) に内分する点である.
また, AE の中点を M とおいて, 平面 \(z=t\) での正八面体の切り口を \(z\) 軸方向から見ると, 下図斜線部のようになる.
\[\begin{align} \text{AE} & = \dfrac{\sqrt{3}}{3} , \quad \text{OM} =\dfrac{1}{2} , \\ \text{PM} & = \dfrac{t}{2h} \text{AE} = \dfrac{\sqrt{2} t}{2} \end{align}\] したがって \[ \text{OP}^2 =\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{2} t}{2} \right)^2 =\dfrac{2 t^2+1}{4} \] この図形を \(z\) 軸を中心に回転させてできる円の面積 \(S(t)\) とすると \[ S(t) =\pi \text{OP}^2 =\dfrac{\pi ( 2t^2+1 )}{4} \] よって, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = 2 \displaystyle\int _ 0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} S(t) dt \\ & = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int _ 0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} \, (2t^2+1) dt \\ & = \dfrac{\pi}{2} \left[ \dfrac{2t^3}{3} +t \right] _ 0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} \\ & =\dfrac{\pi}{2} \left( \dfrac{\sqrt{6}}{54} +\dfrac{\sqrt{6}}{6} \right) \\ & = \underline{\dfrac{5 \sqrt{6} \pi}{54}} \end{align}\]