\(e\) を自然対数の底, すなわち \(e = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{t} \right)^t\) とする. すべての正の実数 \(x\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^x \lt e \lt \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^{x +\frac{1}{2}} \]

【 解 答 】

\(s = 1 +\dfrac{1}{x}\) とおくと, \(x \gt 0\) より \(s \gt 1\) .
また \[ x = \dfrac{1}{s-1} , \quad x +\dfrac{1}{2} = \dfrac{s+1}{2 (s-1)} \quad ... [1] \] 示したい不等式の辺々について, 自然対数をとり, [1] を用いて変形すると \[\begin{align} x \log \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) & \lt 1 \lt \left( x +\dfrac{1}{2} \right) \log \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \\ \dfrac{1}{s-1} \log s & \lt 1 \lt \dfrac{s+1}{2 (s-1)} \log s \end{align}\] さらに, \(s-1 \gt 0\) なので \[ \log s \lt s-1 \lt \dfrac{s+1}{2} \log s \quad ... \text{[＊]} \] ゆえに, 不等式 [＊] を示せばよい.

\(f(s) = s -1 -\log s\) とおけば \[ f'(s) = 1 -\dfrac{1}{s} \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ s \gt 1 \ ) \] したがって, \(f(s)\) は単調増加であり \[\begin{align} f(s) & \gt f(1) = 0 \\ \text{∴} \quad \log s & \lt s-1 \quad ... [2] \end{align}\] \(g(s) = \dfrac{s+1}{2} \log s -(s-1)\) とおけば \[\begin{align} g'(s) & = \dfrac{1}{2} \log s +\dfrac{s+1}{2} \cdot \dfrac{1}{s} -1 \\ & = \dfrac{1}{2} \log s -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2s} \end{align}\] さらに \[\begin{align} g''(s) & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{s} -\dfrac{1}{s^2} \right) \\ & = \dfrac{s-1}{2s^2} \gt 0 \quad \quad ( \ \text{∵} \ s-1 \gt 0 \ ) \end{align}\] したがって, \(g'(s)\) は単調増加であり \[ g'(s) \gt g'(1) = 0 \] したがって, \(g(s)\) は単調増加であり \[\begin{align} g(s) & \gt g(1) = 0 \\ \text{∴} \quad s-1 & \lt \dfrac{s+1}{s} \log s \quad ... [3] \end{align}\] よって, [2] [3] より, [＊] が成立するので, 題意は示された.