A , B , C の \(3\) つのチームが参加する野球の大会を開催する. 以下の方式で試合を行い, \(2\) 連勝したチームが出た時点で, そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(a) \(1\) 試合目で A と B が対戦する.
(b) \(2\) 試合目で, \(1\) 試合目の勝者と, \(1\) 試合目で待機していた C が対戦する.
(c) \(k\) 試合目で優勝チームが決まらない場合は, \(k\) 試合目の勝者と \(k\) 試合目で待機していたチームが \(k+1\) 試合目で対戦する. ここで \(k\) は \(2\) 以上の整数とする.
なお, すべての対戦において, それぞれのチームが勝つ確率は \(\dfrac{1}{2}\) で, 引き分けはないものとする.
(1) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. ちょうど \(n\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(2) \(m\) を正の整数とする. 総試合数が \(3m\) 回以下で A が優勝したとき, A の最後の対戦相手が B である条件付き確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
A が優勝するのは, 次の \(2\) 通りが考えられる.
1* 以下の \(3\) 試合のセットが \(0\) 回以上繰り返された後に, A が B , C に連勝する.
A 対 B で A が勝つ
A 対 C で C が勝つ
B 対 C で B が勝つ
2* 以下の \(3\) 試合のセットが \(1\) 回以上繰り返された後に, A が B に勝つ.
A 対 B で B が勝つ
B 対 C で C が勝つ
A 対 C で A が勝つ
よって, 求める確率は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 0 & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数のとき} \ ) \\ \left( \dfrac{1}{2} \right)^n & ( \ n \ \text{が} \ 3 \ \text{の倍数でないとき} \ ) \end{array} \right.} \]
(2)
1* の場合, つまり A が C に勝って優勝するとき
この確率を \(p _ m\) とおけば \[\begin{align} p _ m & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k-1} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^m}{1 -\dfrac{1}{8}} \\ & = \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{8^m -1}{8^m} \end{align}\]2* の場合, つまり A が B に勝って優勝するとき
この確率を \(q _ m\) とおけば \[\begin{align} q _ m & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{m-1} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3k+1} \\ & = \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{8} \right)^{m-1}}{1 -\dfrac{1}{8}} = \dfrac{1}{14} \cdot \dfrac{8^m -8}{8^m} \end{align}\]
ここで \[ \dfrac{p _ m}{q _ m} = \dfrac{\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{8^m -1}{8^m}}{\dfrac{1}{14} \cdot \dfrac{8^m -8}{8^m}} = \dfrac{4 \cdot 8^m -4}{8^m -8} \] よって, 求める確率は \[\begin{align} \dfrac{q _ m}{p _ m +q _ m} & = \dfrac{1}{\dfrac{p _ m}{q _ m} +1} \\ & = \dfrac{8^m -8}{4 \cdot 8^m -4 +8^m -8} \\ & = \underline{\dfrac{8^m -8}{5 \cdot 8^m -12}} \end{align}\]