\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 \(\text{A} ( 1 )\) , \(\text{B} ( z )\) , \( \text{C} ( z^2 )\) が 鋭角三角形をなすような \(z\) の範囲を求め, 図示せよ.

【 解 答 】

点 A , B , C はすべて異なるので \[\begin{align} z \neq 1 , \quad z^2 & \neq 1 , \quad z \neq z^2 \\ \text{∴} \quad z & \neq 0 , \pm 1 \quad ... [1] \end{align}\] \(\triangle \text{ABC}\) が鋭角三角形となる条件は \[ \left\{ \begin{array}{l} \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \gt \text{CA}^2 \\ \text{BC}^2 + \text{CA}^2 \gt \text{AB}^2 \\ \text{CA}^2 + \text{AB}^2 \gt \text{BC}^2 \end{array} \right. \quad ... [2] \] ここで \[\begin{align} \text{AB}^2 & = | z-1 |^2 \\ \text{BC}^2 & = | z^2-z |^2 = |z|^2 | z-1 |^2 \\ \text{CA}^2 & = | z^2-1 |^2 = | z+1 |^2 | z-1 |^2 \end{align}\] [2] に代入して, \(| z-1 |^2 \gt 0\) に注意すれば \[ \left\{ \begin{array}{ll} 1+|z|^2 \gt | z+1 |^2 & \quad ... [3] \\ |z|^2 +| z+1 |^2 \gt 1 & \quad ... [4] \\ | z+1 |^2 +1 \gt |z|^2 & \quad ... [5] \end{array} \right. \] \(z = x +yi\) とおけば, [3] より \[\begin{align} 1 +x^2 +y^2 & \gt (x+1)^2 +y^2 \\ \text{∴} \quad x & \lt 0 \end{align}\] [4] より \[\begin{align} (x+1)^2 +y^2 +1 & \gt x^2 +y^2 \\ 2x +2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad x & \gt -1 \end{align}\] [5] より \[\begin{align} x^2 +y^2 +(x+1)^2 +y^2 & \gt 1 \\ 2x^2 +2x +2y^2 & \gt 0 \\ \text{∴} \quad \left( x +\dfrac{1}{2} \right)^2 +y^2 & \gt \dfrac{1}{4} \end{align}\] 以上より, 求める \(z\) の範囲は \[ \underline{-1 \lt \text{Re} \, z \lt 0 \ \text{かつ} \ \left| z +\dfrac{1}{2} \right| \gt \dfrac{1}{2}} \] であり, 複素数平面上に図示すると, 下図斜線部（〇, 点線境界は除く）.