\(k\) を正の整数とし, \(10\) 進法で表された小数点以下 \(k\) 桁の実数 \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k = \dfrac{a _ 1}{10} +\dfrac{a _ 2}{10^2} +\cdots +\dfrac{a _ k}{10^k} \] を \(1\) つとる. ここで, \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ k\) は \(0\) から \(9\) までの整数で, \(a _ k \neq 0\) とする.
(1) 次の不等式をみたす正の整数 \(n\) をすべて求めよ. \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k \leqq \sqrt{n} -10^k \lt 0. a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k +10^{-k} \]
(2) \(p\) が \(5 \cdot 10^{k-1}\) 以上の整数ならば, 次の不等式をみたす正の整数 \(m\) が存在することを示せ. \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k \leqq \sqrt{m} -p \lt 0. a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k +10^{-k} \]
(3) 実数 \(x\) に対し, \(r \leqq x \lt r+1\) をみたす整数 \(r\) を \([x]\) で表す. \(\sqrt{s} -\left[ \sqrt{s} \right] = 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k\) をみたす正の整数 \(s\) は存在しないことを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(A _ k = \dfrac{a _ 1}{10} +\dfrac{a _ 2}{10^2} +\cdots +\dfrac{a _ k}{10^k}\) とおくと \[ 10^{-k} \leqq A _ k \leqq 1 -10^{-k} \quad ... [1] \] また, \(10^k A _ k\) は自然数で, [1] より \[ 1\leq 10^k A _ k \leqq 10^k -1 \quad ... [2] \] 与えられた不等式を変形すると \[\begin{align} 10^k +A _ k & \leqq \sqrt{n} \lt 10^k +A _ k +10^{-k} \\ \text{∴} \quad 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +{A _ k}^2 & \leqq n \lt 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +2 +( {A _ k} +10^{-k} )^2 \end{align}\] ここで, [1] を用いれば \[ 0 \lt {A _ k}^2 \lt 1 , \quad 0 \lt ( {A _ k} +10^{-k} )^2 \leqq 1 \] なので \[ 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k \lt n \lt 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +3 \] よって, 求める \(n\) は \[ n = \underline{10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +1 , \ 10^{2k} +2 \cdot 10^k A _ k +2} \]
(2)
与えられた不等式を変形すると
\[\begin{align}
p +A _ k & \leqq \sqrt{m} \lt p +A _ k +10^{-k} \\
\text{∴} \quad \underline{p^2 +2 p A _ k +{A _ k}^2} _ {[3]} & \leqq m \lt \underline{p^2 +2 p (A _ k +10^{-k} ) +( {A _ k} +10^{-k} )^2} _ {[4]}
\end{align}
\]
ここで, [3] と [4] の差を考えると
\[\begin{align}
[4] - [3] & = 2p \cdot 10^{-k} +2 A _ k \cdot 10^{-k} +10^{-2k} \\
& \gt 2p \cdot 10^{-k} \\
& \geqq 1 \quad ( \ \text{∵} \ p \geqq 5 \cdot 10^{k-1} \ )
\end{align}\]
差が \(1\) より大きな \(2\) 数の間には, 少なくとも \(1\) つの整数が含まれるので,
よって, 題意は示された.
(3)
条件をみたす正の整数 \(s\) が存在すると仮定する.
\(\sqrt{s} = \left[ \sqrt{s} \right] +A _ k\) なので
\[\begin{align}
s & = \left[ \sqrt{s} \right]^2 +\underline{2A _ k \left[ \sqrt{s} \right]} _ {[5]} +\underline{{A _ k}^2} _ {[6]}
\end{align}\]
[5] は, 小数点以下高々 \(k\) 桁の実数だが, [6] は \(a _ k \neq 0\) なので, 小数点以下 \(2k\) 桁の実数である.
すなわち, \(s\) は小数点以下 \(2k\) 桁の実数となり, 矛盾する.
よって, 条件をみたす正の整数 \(s\) は存在しない.