座標空間内を, 長さ \(2\) の線分 AB が次の \(2\) 条件 (a) , (b) をみたしながら動く.

1. (a)　点 A は平面 \(z=0\) 上にある.

2. (b)　点 C \(( 0 , 0 , 1 )\) が線分 AB 上にある.

このとき, 線分 AB が通過することのできる範囲を \(K\) とする. \(K\) と不等式 \(z \geqq 1\) の表す範囲との共通部分の体積を求めよ.

【 解 答 】

\(K\) は \(z\) 軸について対称なので, \(xz\) 平面上で, 線分 AB の通過領域を考える.
\(K\) のうち, \(z \geqq 1\) をみたす部分は, 線分 BC の通過領域である.
さらに, 点 B は点 D \(( 0, 0, 2 )\) から点 C まで動くが, この間, \(\angle \text{BCD}\) は単調増加, 線分 BC の長さは単調減少する.
したがって, 線分 BC の通過領域は, 点 B の軌跡と \(z\) 軸に囲まれた部分となり, これの \(z\) 軸による回転体の体積を求めればよい.
\(\angle \text{OCA} = \theta\) とおくと, \(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}\) であり \[ \text{AC} = \dfrac{1}{\cos \theta} , \quad \text{BC} = 2 -\dfrac{1}{\cos \theta} \] 点 B から \(z\) 軸に下ろした垂線の足を点 D とすれば \[\begin{align} \text{CD} & = \text{BC} \cos \theta = 2 \cos \theta -1 \\ \text{BD} & = \text{BC} \sin \theta = 2 \sin \theta -\tan \theta \end{align}\] したがって, 点 B の座標を \(( X , Z )\) とすれば \[ ( X , Z ) = \left( 2 \sin \theta -\tan \theta , 2 \cos \theta \right) \] あらためて, \(t = \cos \theta\) とおくと, \(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1\) で \[ ( X , Z ) = \left( \dfrac{( 2t -1 ) \sqrt{1 -t^2}}{t} , 2t \right) \] 以上より, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {1}^{2} X^2 \, dZ \\ & = \pi \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{( 2t-1 )^2 (1 -t^2)}{t^2} \cdot 2 \, dt \\ & = 2 \pi \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^{1} \left( -4t^2 +4t +3 -\dfrac{4}{t} +\dfrac{1}{t^2} \right) \, dt \\ & = 2 \pi \left[ -\dfrac{4 t^3}{3} +2t^2 +3t -4 \log t -\dfrac{1}{t} \right] _ {\frac{1}{2}}^{1} \\ & = 2 \pi \left\{ \dfrac{8}{3} -\left( -\dfrac{1}{6} +4 \log 2 \right) \right\} \\ & = \underline{\left( \dfrac{17}{3} -8 \log 2 \right) \pi} \end{align}\]