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\(xy\) 平面において, 点 \(( 5 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(5\) の円を C, 点 \(( -4 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(4\) の円を D とする. C , D の共通接線のうち, C , D が異なる側にあり傾きが正であるものを \(\ell\) , 傾きが負であるものを \({\ell}'\) とし, C , D が同じ側にあり傾きが正であるものを \(m\) とする. 以下の問に答えよ.

1. (1)　直線 \(\ell\) の方程式を求めよ.

2. (2)　直線 \(m\) の方程式を求めよ.

3. (3)　三直線 \(\ell , {\ell}' , m\) のすべてに接し C , D と異なる円を E , E' とする. 二円 E , E' の中心の \(x\) 座標を求めよ.

4. (4)　(3) の円 E , E' の半径を求めよ.

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【 解 答 】

(1)

直線 \(y=ax+b\) が円 C , D と接するので \[\begin{align} \dfrac{\left| 5 \sqrt{3} a +b \right|}{\sqrt{a^2+1}} & = 5 \\ \dfrac{\left| -4 \sqrt{3} a +b \right|}{\sqrt{a^2+1}} & = 4 \\ \text{∴} \quad \left| \sqrt{3} a +\dfrac{b}{5} \right| = \left| \sqrt{3} a -\dfrac{b}{4} \right| & = \sqrt{a^2+1} \quad ... [1] \end{align}\]

1. 1*　\(\sqrt{3} a +\dfrac{b}{5} = \sqrt{3} a -\dfrac{b}{4}\) のとき \[ b=0 \] [1] に代入すれば, \(a \gt 0\) であれば \[\begin{align} \sqrt{3} a & = \sqrt{a^2+1} \\ a^2 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align}\]

2. 2*　\(\sqrt{3} a +\dfrac{b}{5} = -\left( \sqrt{3} a -\dfrac{b}{4} \right)\) のとき \[ b = 20 \cdot 2 \sqrt{3} a = 40 \sqrt{3} a \] [1] に代入すれば, \(a \gt 0\) であれば \[\begin{align} \sqrt{3} a +8 \sqrt{3} a & = \sqrt{a^2+1} \\ 242 a^2 & = 1 \\ \text{∴} \quad a & = \dfrac{\sqrt{2}}{22} \end{align}\] このとき \[ b = 40 \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{22} = \dfrac{20 \sqrt{6}}{11} \]

\(a \gt 0\) である直線のうち, 傾きが大きい方が \(\ell\) なので \[ \ell : \ \underline{y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} x} \]

(2)

(1) より, 傾きが小さい方が \(m\) なので \[ m : \ \underline{y = \dfrac{\sqrt{2}}{22} x +\dfrac{20 \sqrt{6}}{11}} \]

(3)

\({\ell}'\) は, \(\ell\) と \(x\) 軸について対称なので \[ {\ell}' : \ y = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} x \] \(3\) 直線 \(\ell , {\ell}' , m\) すべてと接する円の中心を \(( X , Y )\) とおけば \[\begin{align} \dfrac{| \sqrt{2} X -2Y |}{\sqrt{2^2+2}} & = \dfrac{| \sqrt{2} X +2Y |}{\sqrt{2^2+2}} = \dfrac{| \sqrt{2} X -22Y +40 \sqrt{6} |}{\sqrt{22^2+2}} \quad ... [2] \\ \text{∴} \quad | X -\sqrt{2} Y | & = | X +\sqrt{2} Y | = \dfrac{| X -11 \sqrt{2} Y +40 \sqrt{3} |}{9} \quad ... [3] \end{align}\]

1. 1*　\(X -\sqrt{2} Y = X +\sqrt{2} Y\) のとき \[ Y = 0 \] これは, C , D に相当する.

2. 2*　\(X -\sqrt{2} Y = -X -\sqrt{2} Y\) のとき \[ X = 0 \quad ... [4] \] したがって, E , E' の \(x\) 座標は, \(\underline{0}\) .

(4)

[4] を [3] に代入すれば, \(Y \gt 0\) なので \[\begin{align} 9 \sqrt{2} Y & = \left| 11 \sqrt{2} Y -40 \sqrt{3} \right| \\ 9 \sqrt{2} Y & = \pm 11 \sqrt{2} Y \mp 40 \sqrt{3} \\ \text{∴} \quad Y & = 2 \sqrt{3} , \ 20 \sqrt{3} \end{align}\] [2] の式の値が半径 \(r\) なので

• \((X,Y) = ( 0 , \sqrt{3} )\) のとき \[ r = \dfrac{\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 2 \]

• \((X,Y) = ( 0 , 10 \sqrt{3} )\) のとき \[ r = \dfrac{\sqrt{2} \cdot 20 \sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 20 \]

よって, 円 E , E' の半径は \[ \underline{2 , \ 20} \]