正の実数 \(m , n\) に対して \(f( m , n )\) が次の等式を満たすように定められている. \[ \left\{ \begin{array}{l} f( 1 , 1 ) = 1 , \ f( 2 , 2 ) = 6 , \ f( 3 ,3 ) = 20 \\ f( m , n ) = 2 f( m-1 , n ) \quad ( m \geqq 2 )\\ f( m , n ) +3 f( m , n-2 ) = 3 f( m , n-1 ) +f( m , n-3 ) \quad ( n \geqq 4 )\end{array} \right. \] 次の問に答えよ.
(1) \(f( m , 1 )\) および \(f( 1 , n )\) をそれぞれ \(m , n\) の式で表せ.
(2) \(f( 6 , 32 )\) の値を求めよ.
(3) 任意の正の整数 \(l\) に対して, \(f( m , n ) = l\) を満たす正の整数 \(m , n\) が存在することを示せ.
【 解 答 】
(1)
与えられた式を順に [1] ～ [5] とする.
[1] [4] より, 数列 \(\{ f( m , 1 ) \}\) は, 初項 \(f( 1 , 1 ) = 1\) , 公比 \(2\) の等比数列なので
\[
f( m , 1 ) = \underline{2^{m-1}}
\]
[2] [3] に [4] を用いれば
\[\begin{align}
f( 1 , 2 ) & = \dfrac{1}{2} \cdot 6 = 3 \quad ... [6] \ , \\
f( 2 , 3 ) & = \dfrac{1}{2} \cdot 20 = 10 \ , \\
f( 1 , 3 ) & = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5 \quad ... [7]
\end{align}\]
以下では, \(f( 1 , n ) = 2n-1\) ... [A] であることを, 数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n = 1 , 2 , 3\) のとき
[1] [6] [7] より, [A] が成立している.2* \(n= k , k+1 , k+2\) のとき, [A] が成立する, すなわち \[ f( 1 , k ) = 2k-1 , \ f( 1 , k+1 ) = 2k+1 , \ f( 1 , k+2 ) = 2k+3 \] と仮定すると, [5] より \[\begin{align} f( 1 , k+3 ) & = 3 f( 1 , k+2 ) +f( 1 , k ) -3 f( 1 , k+1 ) \\ & = 3 ( 2k+3 ) +2k-1 -3 ( 2k+1 ) \\ & = 2 ( k+3 ) -1 \end{align}\] なので, \(n = k+3\) のときも [A] が成立する.
以上より, すべての自然数 \(n\) で [A] が成立し \[ f( 1 , n ) = \underline{2n-1} \]
(2)
(1) の結果に, 再度 [4] を用いれば, 数列 \(\{ f( m , n ) \}\) は, 初項 \(f( 1 , n ) = 2n-1\) , 公比 \(2\) の等比数列なので \[ f( m , n ) = 2^{m-1} ( 2n-1 ) \quad ... [8] \] よって \[\begin{align} f( 6 , 32 ) & = 2^5 \cdot 63 = 2^5 \left( 2^6 -1 \right) \\ & = 2048 -32 = \underline{2016} \end{align}\]
(3)
\(l\) を素因数分解することを考えれば, \(0\) 以上の整数 \(p\) と奇数 \(Q\) を用いて
\[
l = 2^p Q
\]
と表すことができる.
[8] より, \(m = p+1\) , \(n = \dfrac{Q+1}{2}\) とすれば, \(f( m , n ) = l\) となり, 題意は示された.