\(xyz\) 空間上に点 A \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) をとる. \(xy\) 平面上の点 P \(( a , b , 0 )\) は, 線分 AP の長さが \(2\) で, \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) となるように動く. このとき線分 AP がえがく図形を \(F\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2) 点 Q \(( x , y , z )\) を図形 \(F\) 上の点とするとき, \(z\) を \(x , y\) を用いて表せ.
(3) 図形 \(F\) , 座標平面 \(x=0\) , \(y=0\) , \(z=0\) によって囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転してできる回転体を \(V\) とする. \(V\) の平面 \(x=t\) による切り口の面積 \(S(t)\) を \(t\) を用いて表せ.
(4) \(V\) の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
△OAP に着目すれば \[ \text{OP} = \sqrt{2^2 -3} = 1 \] なので, P は O を中心とする半径 \(1\) の円周の第 \(1\) 象限部分にあり, 軌跡は下図.
(2)
R \(( 0 , 0 , z )\) とおくと \[ \text{RQ} = \sqrt{x^2 +y^2} \] \(\triangle \text{OAP} \sim \triangle \text{RAQ}\) なので \[\begin{align} ( \sqrt{3} -z ) : \sqrt{x^2 +y^2} & = \sqrt{3} : 1 \\ \sqrt{3} \sqrt{x^2 +y^2} & = \sqrt{3} -z \quad ... [1]\\ \text{∴} \quad z & = \underline{\sqrt{3} \left( 1 -\sqrt{x^2 +y^2} \right)} \end{align}\]
(3)
\(t\) のとりうる値の範囲は, \(0 \leqq t \leqq 1\) ... [2] .
\(x=t\) を [1] に代入して, 両辺を平方すると
\[\begin{align}
3 \left( y^2 +t^2 \right) & = \left( \sqrt{3} -z \right)^2 \\
\text{∴} \quad \dfrac{\left( \sqrt{3} -z \right)^2}{3 t^2} -\dfrac{y^2}{t^2} & = 1
\end{align}\]
したがって, 平面 \(x=t\) における図形 \(F\) の断面は, 双曲線の一部となる.
このとき, \(z\) のとりうる値の範囲は
\[
0 \leqq z \leqq \sqrt{3} (1-t) \quad ... [3]
\]
この曲線上の点と \(x\) 軸との距離の \(2\) 乗を \(f(z)\) とおくと
\[\begin{align}
f(z) & = y^2 +z^2 \\
& = \dfrac{\left( \sqrt{3} -z \right)^2}{3 t^2}{3} -t^2 +z^2 \\
& = \dfrac{4}{3} z^2 -\dfrac{2 \sqrt{3}}{3} z +1 -t^2 \\
& = \dfrac{4}{3} \left( z -\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 +\dfrac{3}{4} -t^2
\end{align}\]
[3] における \(f(z)\) の最大値の候補は
\[\begin{align}
f(0) & = 1 -t^2 \ , \\
f \left( \sqrt{3} (1-t) \right) & = 4 ( 1 -t )^2 -2 ( 1 -t ) +1 -t^2 \\
& = 3 ( 1 -t )^2
\end{align}\]
[2] の範囲で, これらの大小を比較すると
\(0 \leqq t \lt \dfrac{1}{2}\) のとき, \(f \left( \sqrt{3} (1-t) \right)\) が最大
\(\dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1\) のとき, \(f(0)\) が最大
よって, 求める面積は \[ S(t) = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 3 \pi ( 1 -t )^2 & \left( \ 0 \leqq t \lt \dfrac{1}{2} \ \text{のとき} \ \right) \\ \pi ( 1 -t ^2 ) & \left( \ \dfrac{1}{2} \leqq t \leqq 1 \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.} \]
(4)
(3) の結果を用いれば \[\begin{align} V & = \displaystyle\int _ {0}^{1} S(t) \, dt \\ & = 3 \pi \displaystyle\int _ {0}^{\frac{1}{2}} ( 1 -t )^2 \, dt +\pi \displaystyle\int _ {\frac{1}{2}}^{1} ( 1 -t ^2 ) \, dt \\ & = \pi \left[ ( t -1 )^3 \right] _ {0}^{\frac{1}{2}} +\pi \left[ t -\dfrac{t^3}{3} \right] _ {\frac{1}{2}}^{1} \\ & = \pi \left( 1 -\dfrac{1}{8} \right) +\pi \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{24} \right) \\ & = \underline{\dfrac{13}{12} \pi} \end{align}\]