1. (1)　定積分 \(\displaystyle\int _ {\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{2+\sin x}{1+\cos x} \, dx\) を求めよ.

2. (2)　関数 \(y = \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}\) の増減, 極値を調べ, そのグラフの概形を描け. ただし, グラフの凹凸, 変曲点は調べなくてよい.

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【 解 答 】

(1)

求める定積分を \(I\) とおくと \[\begin{align} I & = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx -\displaystyle\int _ {\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{( 1+\cos x )'}{1 +\cos x} \, dx \\ & = \left[ \dfrac{1}{2} \tan \dfrac{x}{2} \right] _ {\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} -\left[ \log ( 1+\cos x ) \right] _ {\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 1 -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right) -\log \dfrac{1}{1+\frac{1}{2}} \\ & =\underline{\dfrac{3 -\sqrt{3}}{6} +\log \dfrac{3}{2}} \end{align}\]

(2)

定義域は \(x \neq 0 , 3\) .
\[\begin{align} y' & = \dfrac{\frac{2x}{2 \sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2-3x) -\sqrt{x^2+1} \cdot (2x-3)}{(x^2-3x)^2} \\ & = \dfrac{(x^3-3x^2) -(2x^3-3x^2+2x-3)}{(x^2-3x)^2 \sqrt{x^2+1}} \\ & = -\dfrac{(x-1)(x^2+x+3)}{(x^2-3x)^2 \sqrt{x^2+1}} \end{align}\] \(y' =0\) を解くと, \(x=1\) .
それぞれの極限値は \[\begin{gather} \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \pm \infty} y \rightarrow 0 \ , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow -0} y \rightarrow \infty \ , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} y \rightarrow -\infty \ , \\ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 3-0} y \rightarrow -\infty \ , \ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 3+0} y \rightarrow \infty \end{gather}\] したがって, 増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & ( -\infty ) & \cdots & (0) & \cdots & 1 & \cdots & (3) & \cdots & ( \infty ) \\ \hline y' & & + & & + & 0 & - & & - & \\ \hline y & (0) & \nearrow & ( \pm \infty ) & \nearrow & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \searrow & ( \mp \infty ) & \searrow & (0) \end{array} \] よって, グラフの概形は下図.