\(a\) を正の定数とする. \(2\) つの曲線 \(C _ 1 : \ y = x \log x\) と \(C _ 2 : \ y = ax^2\) の両方に接する直線の本数を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{( \log x )^2}{x} = 0\) は証明なしに用いてよい.
【 解 答 】
\(C_1\) の式より
\[
y' = 1 \cdot \log x +x \cdot \dfrac{1}{x} = 1 +\log x
\]
\(x\) 座標が \(t \ ( t \gt 0 )\) の点における \(C_1\) の接線の式は
\[\begin{align}
y & = ( 1 +\log t ) ( x-t ) +t \log t \\
& = ( 1 +\log t ) x -t \quad ... [1]
\end{align}\]
\(C_2\) の式より
\[
y' = 2ax
\]
\(x\) 座標が \(s\) の点における \(C_2\) の接線の式は
\[\begin{align}
y & = 2as ( x-s ) +as^2 \\
& = 2as x -as^2 \quad ... [2]
\end{align}\]
したがって, [1] [2] が一致する \(( s , t )\) の組の個数が, 求める本数である.
[1] [2] を比較して
\[
\left\{ \begin{array}{ll} 1 +\log t = 2as & \quad ... [3] \\ t = as^2 & \quad ... [4] \end{array} \right.
\]
[4] より, \(s = \pm \sqrt{\dfrac{t}{a}}\) で, [3] に代入して
\[\begin{align}
1 +\log t & = \pm 2 \sqrt{at} \\
\dfrac{1 +\log t}{\sqrt{t}} & = \pm 2 \sqrt{a}
\end{align}\]
ここで \(u = \sqrt{t}\) とおけば
\[
\dfrac{1 +2 \log u}{u} = \pm 2 \sqrt{a} \quad ... [5]
\]
したがって, [5] をみたす \(u\) の個数が, 求める本数である.
[5] の左辺を \(f(u)\) とおけば
\[\begin{align}
f'(u) & = \dfrac{\dfrac{2}{u} \cdot u -( 1 +2 \log u ) \cdot 1}{u^2} \\
& = \dfrac{1 -2 \log u}{u^2}
\end{align}\]
\(f'(u) = 0\) をとくと
\[\begin{align}
\log u & = \dfrac{1}{2} \\
\text{∴} \quad u & = \sqrt{e}
\end{align}\]
また
\[
f \left( \sqrt{e} \right) = \dfrac{2}{\sqrt{e}}
\]
さらに
\[\begin{align}
f(u) & = \dfrac{1}{u} +\dfrac{\log u^2}{u} \\
& \rightarrow 0+0 = 0 \quad ( \ u \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \ , \\
f(u) & = \dfrac{1 +2 \log u}{u} \rightarrow -\infty \quad ( \ u \rightarrow 0 \ \text{のとき} \ )
\end{align}\]
なので, \(f(u)\) の増減は下表の通り.
\[
\begin{array}{c|ccccc} u & ( 0 ) & \cdots & \sqrt{e} & \cdots & ( \infty ) \\ \hline f'(u) & & + & 0 & - & \\ \hline f(u) & ( -\infty ) & \nearrow & \dfrac{2}{\sqrt{e}} & \searrow & ( 0 ) \end{array}
\]
よって, 求める本数は
\(0 \lt 2 \sqrt{a} \lt \dfrac{2}{\sqrt{e}}\) すなわち \(\underline{0 \lt a \lt \dfrac{1}{e}}\) のとき, \(\underline{3}\)
\(2 \sqrt{a} = \dfrac{2}{\sqrt{e}}\) すなわち \(\underline{ a = \dfrac{1}{e}}\) のとき, \(\underline{2}\)
\(2 \sqrt{a} \gt \dfrac{2}{\sqrt{e}}\) すなわち \(\underline{a \gt \dfrac{1}{e}}\) のとき, \(\underline{1}\)