四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ.
- 条件： 頂点 A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る.
ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の \(3\) つの頂点がなす三角形のことである.
【 解 答 】
頂点 A から対面に下ろした垂心の足を H とおくと \[ \angle \text{AHO} = \angle \text{AHB} = \angle \text{AHC} = 90^{\circ} \quad ... [1] \] H は外心なので \[ \text{OH} = \text{BH} = \text{CH} \quad ... [2] \] 辺 OH は共有しているので, [1] [2] と合わせて, \(2\) 辺と挟まれる角がそれぞれ等しいので \[ \triangle \text{AHO} \equiv \triangle \text{AHB} \equiv \triangle \text{AHC} \] ゆえに \[ \text{AO} = \text{AB} = \text{AC} \] 頂点 B, C についても同様にすれば \[ \text{BO} = \text{BA} = \text{BC} , \quad \text{CO} = \text{CA} = \text{CB} \] 以上より, 四面体 OABC は \(6\) つの辺の長さがすべて等しく, 正四面体である.