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\(S\) を, 座標空間内の原点 O を中心とする半径 \(1\) の球面とする.
\(S\) 上を動く点 A, B, C, D に対して
\[
F = 2 ( \text{AB}^2 + \text{BC}^2 + \text{CA}^2 ) -3 ( \text{AD}^2 + \text{BD}^2 + \text{CD}^2 )
\] とおく. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OD}} = \overrightarrow{d}\) とするとき, \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c} , \overrightarrow{d}\) によらない定数 \(k\) によって
   \[
   F = k \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right)
   \] と書けることを示し, 定数 \(k\) を求めよ.

2. (2)　点 A, B, C, D が球面 \(S\) 上を動くときの, \(F\) の最大値 \(M\) を求めよ.

3. (3)　点 C の座標が \(\left( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{15}}{4} , 0 \right)\) , 点 D の座標が \(( 1 , 0 , 0 )\) であるとき, \(F = M\) となる \(S\) 上の点 A, B の組をすべて求めよ.

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【 問 題 】

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定数 \(b , c , p , q , r\) に対し, \[ x^4 +bx +c = ( x^2 +px +q ) ( x^2 -px +r ) \] が \(x\) についての恒等式であるとする.

1. (1)　\(p \neq 0\) であるとき, \(q , r\) を \(p , b\) で表せ.
2. (2)　\(p \neq 0\) とする. \(b , c\) が定数 \(a\) を用いて \[ b = ( a^2 +1 ) (a+2) , \quad c = -\left( a +\dfrac{3}{4} \right) ( a^2 +1 ) \] と表されているとき, 有理数を係数とする \(t\) についての整式 \(f(t)\) と \(g(t)\) で \[ \{ p^2 -( a^2 +1 ) \} \{ p^4 +f(a) p^2 +g(a) \} = 0 \] を満たすものを \(1\) 組求めよ.
3. (3)　\(a\) を整数とする. \(x\) の \(4\) 次式 \[ x^4 +( a^2 +1 ) (a+2) x -\left( a +\dfrac{3}{4} \right) ( a^2 +1 ) \] が有理数を係数とする \(2\) 次式の積に因数分解できるような \(a\) をすべて求めよ.

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概要 WordPressでMathJaxを使用するときは、プ…