東工大2021:第4問
\(S\) を, 座標空間内の原点 O を中心とする半径 \(1\) の球面とする.
\(S\) 上を動く点 A, B, C, D に対して
\[
F = 2 ( \text{AB}^2 + \text{BC}^2 + \text{CA}^2 ) -3 ( \text{AD}^2 + \text{BD}^2 + \text{CD}^2 )
\]
とおく. 以下の問いに答えよ.
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(1) \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OD}} = \overrightarrow{d}\) とするとき, \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c} , \overrightarrow{d}\) によらない定数 \(k\) によって
\[
F = k \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} -3 \overrightarrow{d} \right)
\] と書けることを示し, 定数 \(k\) を求めよ. -
(2) 点 A, B, C, D が球面 \(S\) 上を動くときの, \(F\) の最大値 \(M\) を求めよ.
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(3) 点 C の座標が \(\left( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{\sqrt{15}}{4} , 0 \right)\) , 点 D の座標が \(( 1 , 0 , 0 )\) であるとき, \(F = M\) となる \(S\) 上の点 A, B の組をすべて求めよ.