水平な平面 \(\alpha\) の上に半径 \(r _ 1\) の球 \(S _ 1\) と半径 \(r _ 2\) の球 \(S _ 2\) が乗っており, \(S _ 1\) と \(S _ 2\) は外接している.
(1) \(S _ 1 , S _ 2\) が \(\alpha\) と接する点をそれぞれ \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) とする. 線分 \(\text{P} _ 1 \text{P} _ 2\) の長さを求めよ.
(2) \(\alpha\) の上に乗っており, \(S _ 1\) と \(S _ 2\) の両方に外接している球すべてを考える. それらの球と \(\alpha\) の接点は, \(1\) つの円の上または \(1\) つの直線上にあることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(r _ 1 \neq r _ 2\) のとき, \(S _ 1 , S _ 2\) の中心を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形に着目して
\[\begin{align}
\text{P} _ 1 \text{P} _ 2 & = \sqrt{( r _ 1 +r _ 2 )^2 -| r _ 1 -r _ 2 |^2} \\
& = 2 \sqrt{r _ 1 r _ 2} \quad ... [1]
\end{align}\]
\(r _ 1 = r _ 2\) のとき, \(\text{P} _ 1 \text{P} _ 2 = 2 r _ 1\) であり, [1] で満たされている.
よって
\[
\text{P} _ 1 \text{P} _ 2 = \underline{2 \sqrt{r _ 1 r _ 2}}
\]
(2)
\(S _ 1 , S _ 2\) 両方に外接する円を \(S _ 3\) とし, \(S _ 3\) の半径を \(r _ 3\) , \(\alpha\) との接点を \(\text{P} _ 3\) とおく.
(1) の結果から
\[
\text{P} _ 1 \text{P} _ 3 = 2 \sqrt{r _ 1 r _ 3} , \ \text{P} _ 2 \text{P} _ 3 = 2 \sqrt{r _ 2 r _ 3} \quad ... [2]
\]
\(\text{P} _ 1 \ ( 0, 0 )\) , \(\text{P} _ 2 \ ( 2 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }, 0 )\) となるように, \(xy\) 座標を定め, \(\text{P} _ 3 \ ( X, Y )\) とおくと, [2] より
\[\begin{align}
X^2 +Y^2 & = 4 r _ 1 r _ 3 \quad ... [3] \\
( X -2 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 } )^2 +Y^2 & = 4 r _ 2 r _ 3 \quad ... [4]
\end{align}\]
1* \(r _ 1 = r _ 2\) のとき
\([3] -[4]\) より \[\begin{align} 4 r _ 1 X -4 {r _ 1}^2 & = 0 \\ \text{∴} \quad X & = r _ 1 \end{align}\] これは, 直線を表す.2* \(r _ 1 \neq r _ 2\) のとき
\([3] \times r _ 2 -[4] \times r _ 1\) より \[\begin{align} r _ 2 X^2 +r _ 2 Y^2 & = r _ 1 ( X -2 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 } )^2 +r _ 1 Y^2 \\ ( r _ 2 -r _ 1 ) X^2 +4 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 } X & +( r _ 2 -r _ 1 ) Y^2 = 4 {r _ 1}^2 r _ 2 \\ \left( X +\dfrac{2 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 +Y^2 & = \dfrac{4 {r _ 1}^2 r _ 2}{r _ 2 -r _ 1} +\left( \dfrac{2 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 \\ \text{∴} \quad \left( X +\dfrac{2 r _ 1 \sqrt{ r _ 1 r _ 2 }}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 +Y^2 & = \left( \dfrac{2 r _ 1 r _ 2}{r _ 2 -r _ 1} \right)^2 \end{align}\] これは, 円を表す.
以上より, 題意は示された.