サイコロを \(3\) 回振って出た目の数をそれぞれ \(a , b , c\) とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(a , b , c\) がある直角三角形の \(3\) 辺の長さとなる確率を求めよ.
(2) \(a , b , c\) がある鈍角三角形の \(3\) 辺の長さとなる確率を求めよ.
【 解 答 】
(1)
さいころの目の出方は, \(6^3\) 通り.
\(1\) から \(6\) の平方数は, \(1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36\) なので, 直角三角形となる \(3\) 辺の組合せは, \(( 3 , 4 , 5 )\) のみ.
\(a , b , c \) が この組の数となるのは, \(3 !\) 通りなので, 求める確率は
\[
\dfrac{3 !}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{36}} \ .
\]
(2)
\(a \geqq b \geqq c\) ... [1] と仮定すると, 鈍角三角形になるのは
\[
a \lt b+c \quad \text{かつ} \quad a^2 \gt b^2 +c^2
\]
が成立するとき.
\(a\) の値で場合分けして, 条件をみたす \(( b , c )\) の組を考える.
\(a = 6\) のとき \[ ( b , c ) = ( 5 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 3 ) \ . \]
\(a = 5\) のとき \[ ( b , c ) = ( 4 , 2 ) , ( 3 , 3 ) \ . \]
\(a = 4\) のとき \[ ( b , c ) = ( 3 , 2 ) \ . \]
\(a = 3\) のとき \[ ( b , c ) = ( 2 , 2 ) \ . \]
\(a = 2 , 1\) のときは, 条件をみたす組はない.
以上で求めた \(8\) 組の \((a , b , c)\) の組のうち, \(2\) 数のみが同じ組が \(3\) 組, \(3\) 数がすべて異なる組が \(5\) 組ある.
よって, [1] の仮定を取り除けば, 求める確率は
\[
\dfrac{3 \cdot {} _ {3}\text{C} {} _ {2} +5 \cdot 3 !}{6^3} = \underline{\dfrac{13}{72}} \ .
\]