以下の問いに答えよ.
(1) \(6\) 以上の整数 \(n\) に対して不等式 \[ 2^n \gt n^2 +7 \] が成り立つことを数学的帰納法により示せ.
(2) 等式 \[ p^q = q^p +7 \] を満たす素数の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
示したい不等式を [A] とおく.
1* \(n = 6\) のとき \[ 2^6 = 64 \gt 43 = 6^2 +7 \ . \] なので, [A] が成立する.
2* \(n = k \ ( k \geqq 6 )\) のとき
[A] が成立する, すなわち \[ 2^k \gt k^2 +7 \quad ... [1] \] と仮定すると \[\begin{align} 2^{k+1} -( k+1 )^2 -7 & \gt 2 ( k^2 +7 ) -k^2 -2k -8 \quad ( \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = k^2 -2k +6 \\ & = ( k-1 )^2 +5 \gt 0 \ . \end{align}\] すなわち \[ 2^{k+1} \gt ( k+1 )^2 +7 \] で, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.
1* 2* から, 数学的帰納法により, 題意は示された.
(2)
1* \(p = 2\) のとき \[ 2^q = q^2 +7 \] 両辺の奇偶を考えると, \(q\) は奇数であり, (1) の結果より, \(q \leqq 5\) なので, \(q\) の候補は \(3 , 5\) のみ.
\(q=3\) のとき \[ 2^3 = 8 \neq 16 = 3^2 +7 \] で不適.
\(q=5\) のとき \[ 2^5 = 32 = 5^2 +7 \] で適する.
2* \(p\) が \(3\) 以上の素数のとき
両辺の奇偶を考えると \(q=2\) であり \[ p^2 = 2^p +7 \ . \] (1) の結果より, \(p \geqq 6\) のとき \[ p^2 \lt 2^p -7 \lt 2^p +7 \ . \] なので, \(p\) の候補は \(3 , 5\) のみ.\(p=3\) のとき \[ 3^2 = 9 \neq 15 = 2^3 +7 \] で不適.
\(p=5\) のとき \[ 5^2 = 25 \neq 39 = 2^5 +7 \] で不適.
以上より, 求める組は \[ ( p , q ) = \underline{( 2 , 5 )} \ . \]