自然数 \(n\) に対し, \(\dfrac{10^n -1}{9} =\overbrace{111 \cdots 111}^{n} = \fbox{$n$}\) で表す. たとえば, \(\fbox{$1$}=1\) , \(\fbox{$2$}=11\) , \(\fbox{$3$}=111\) である.
(1) \(m\) を \(0\) 以上の整数とする. \(\fbox{$3^m$}\) は \(3^m\) で割り切れるが, \(3^{m+1}\) では割り切れないことを示せ.
(2) \(n\) が \(27\) で割り切れることが, \(\fbox{$n$}\) が \(27\) で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(f(n) =\dfrac{10^n -1}{9}\) とおく.
- [A]：『 \(f(3^m)\) は \(3^m\) で割り切れるが, \(3^{m+1}\) では割り切れない』
1* \(m=0\) のとき \[ f(3^0) =f(1) =1 \] これは, \(3^0 =1\) で割り切れるが, \(3^1 =3\) では割り切れない.
したがって, \(m=0\) のとき, [A] は成立する.2* \(m=k \ ( k \geqq 0 )\) のとき, [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} f( 3^{k+1}) & = \dfrac{10^{3 \cdot 3^k} -1}{9} \\ & = \dfrac{\left( 10^{3^k} -1 \right) \left( 10^{2 \cdot 3^k} +10^{3^k} +1 \right)}{9} \\ & = f( 3^k ) \underline{\left( 10^{2 \cdot 3^k} +10^{3^k} +1 \right)} _ {[1]} \end{align}\] 下線部 [1] について, \(\mod 3\) とすると \[ [1] \equiv 1^{2 \cdot 3^k} +1^{3^k} +1 \equiv 0 \] \(\mod 9\) とすると \[ [1] \equiv 1^{2 \cdot 3^k} +1^{3^k} +1 \equiv 3 \] なので, [1] は \(3\) で割り切れるが, \(9\) では割り切れない.
仮定より, \(f(3^k)\) は, \(3^k\) では割り切れるが, \(3^{k+1}\) では割り切れないので, \(f(3^{k+1})\) は, \(3^{k+1}\) では割り切れるが, \(3^{k+2}\) では割り切れない.
したがって, \(m=k+1\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.
(2)
- [P]：『 \(n\) が \(27\) で割り切れる』
- [Q]：『 \(f(n)\) が \(27\) で割り切れる』
1* \(\text{[P]} \Longrightarrow \text{[Q]}\) の証明
\(n =27 i\) （ \(i\) は \(0\) 以上の整数）とおくと \[\begin{align} f(27i) & = \dfrac{10^{27i}-1}{9} \\ & = \dfrac{10^{27}-1}{9} \left\{ 10^{27(i-1)} +10^{27(i-2)} +\cdots +1 \right\} \\ & = f( 3^3 ) \left\{ 10^{27(i-1)} +10^{27(i-2)} +\cdots +1 \right\} \end{align}\] (1) の結果より, \(f(3^3)\) は \(3^3 =27\) で割り切れるので, \(f(27i)\) は27で割り切れる.2* \(\text{[Q]} \Longrightarrow \text{[P]}\) の証明
\(f(n)\) は \(1\) が \(n\) 個並んだ数なので,
\(f(n) =27j\) （ \(j\) は \(0\) 以上の整数）ならば, \(n =27j\) .
以上より, 題意は示された.