座標平面において, 媒介変数 \(t\) を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x= \cos 2t \\ y= t \sin t \end{array} \right. \quad ( \ 0 \leqq t \leqq 2 \pi \] と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ.
【 解 答 】
\[\begin{align} \dfrac{dx}{dt} & = -2\sin 2t , \\ \dfrac{dy}{dt} & = \sin t +t \cos t \end{align}\] \(0 \leqq t \leqq 2 \pi\) において \[\begin{align} \dfrac{dx}{dt} & = -2\sin 2t =0 \\ \text{∴} \quad t =0 , & \dfrac{\pi}{2} , \pi , \dfrac{3 \pi}{2} , 2 \pi \end{align}\] また \[\begin{align} \dfrac{dy}{dt} = \sin t +t \cos t & =0 \\ \text{∴} \quad \tan t & = -t \quad ... [1] \end{align}\] \(y= \tan t\) と \(y =-t\) のグラフは下図のようになる.
したがって, [1] の解は \[ t = 0 , \alpha , \beta \quad \left( \ \dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi , \dfrac{3 \pi}{2} \lt \beta <2 \pi \ \right) \] 以上より, \((x, y)\) の増減表は下表の通りとなる. \[ \begin{array}{c|ccccccccccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \alpha & \cdots & \pi & \cdots & \dfrac{3 \pi}{2} & \cdots & \beta & \cdots & 2\pi \\ \hline \frac{dx}{dt} & 0 & - & 0 & + & & + & 0 & - & 0 & + & & + & 0 \\ \hline \frac{dy}{dt} & 0 & + & & + & 0 & - & & - & & - & 0 & + & \\ \hline x & 1 & \leftarrow & -1 & \rightarrow & & \rightarrow & 1 & \leftarrow & -1 & \rightarrow & & \rightarrow & 1 \\ \hline y & 0 & \uparrow & \dfrac{\pi}{2} & \uparrow & \max & \downarrow & 0 & \downarrow & -\dfrac{3 \pi}{2} & \downarrow & \min & \uparrow & 0 \end{array} \] ゆえに, 与えられた曲線の概形は下図のようになる.
したがって, 求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {t=\frac{\pi}{2}}^{t=\pi} y \, dx -\displaystyle\int _ {t=\frac{\pi}{2}}^{t=0} y \, dx +\displaystyle\int _ {t=\frac{3 \pi}{2}}^{t= 2\pi} (-y) \, dx -\displaystyle\int _ {t=\frac{3 \pi}{2}}^{t=\pi} (-y) \, dx \\ & = \displaystyle\int _ {t=0}^{t=\pi} y \, dx +\displaystyle\int _ {t=2 \pi}^{t=\pi} y \, dx \end{align}\] ここで, \(F(t) =\displaystyle\int y \, dx\) とおくと \[\begin{align} F(t) & =\displaystyle\int \, t \sin t ( -2 \sin 2t ) \, dt \\ & = -4 \displaystyle\int \, t \sin^2 t ( \sin t )' \, dt \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t +\dfrac{4}{3} \displaystyle\int \, \sin^3 t \, dt \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t -\dfrac{4}{3} \displaystyle\int \, \left( 1 -\cos^2 t \right) \left( \cos t \right)' \, dt \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t -\dfrac{4}{3} \left( \cos t -\dfrac{1}{3} \cos^3 t \right) \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t -\dfrac{4}{3} \cos t +\dfrac{4}{9} \cos^3 t +C \quad ( \ C \text{は積分定数} ) \end{align}\] よって \[\begin{align} S & = 2F( \pi ) -F(0) -F( 2\pi ) \\ & = 2 \left( \dfrac{4}{3} -\dfrac{4}{9} \right) -\left( -\dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{9} \right) -\left( -\dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{9} \right) \\ & = \underline{\dfrac{32}{9}} \end{align}\]