\(xy\) 平面上で \(x\) 座標と \(y\) 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.
(1) \(y = \dfrac{1}{3} x^2 +\dfrac{1}{2} x\) のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ.
(2) \(a , b\) は実数で \(a \neq 0\) とする. \(y = ax^2+bx\) のグラフ上に, 点 \((0,0)\) 以外に格子点が \(2\) つ存在すれば, 無限個存在することを示せ.
解答
(1)
\(x = 6n\) （ \(n\) は整数）とおけば
\[\begin{align}
y & = \dfrac{1}{3} \cdot (6n)^2 +\dfrac{1}{2} \cdot 6n \\
& = 12n^2+3n
\end{align}\]
これは整数なので, 点 \(( 6n , 12n^2+3n )\) は, \(y=\dfrac{1}{3}x^2 +\dfrac{1}{2}x\) 上の格子点である.
よって, \(n\) は無限にあるので, 格子点も無限個にあるといえる.
(2)
\(y = ax^2+bx\) 上の \(2\) つの格子点を \((x _ 1 , y _ 1) , \ (x _ 2 , y _ 2)\) （ \(x _ 1 , x _ 2\) は互いに異なり \(0\) でない）とおく.
このとき, 条件より
\[
\left( \begin{array}{cc} {x _ 1}^2 & x _ 1 \\ {x _ 2}^2 & x _ 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y _ 1 \\ y _ 2 \end{array} \right)
\]
ここで
\[
\det \left( \begin{array}{cc} {x _ 1}^2 & x _ 1 \\ {x _ 2}^2 & x _ 2 \end{array} \right) = x _ 1 x _ 2 ( x _ 1 -x _ 2 ) \neq 0
\]
なので逆行列 \(\left( \begin{array}{cc} {x _ 1}^2 & x _ 1 \\ {x _ 2}^2 & x _ 2 \end{array} \right)^{-1}\) が存在し
\[
\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) = \dfrac{1}{x _ 1 x _ 2 ( x _ 1 -x _ 2 )} \left( \begin{array}{cc} x _ 2 & -x _ 1 \\ -{x _ 2}^2 & {x _ 1}^2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y _ 1 \\ y _ 2 \end{array} \right)
\]
\(x _ 1 , x _ 2 , y _ 1 , y _ 2\) はすべて整数なので, \(a , b\) はともに有理数である.
そこで, \(a =\dfrac{p _ 1}{q _ 1}\) , \(b =\dfrac{p _ 2}{q _ 2}\) （ \(p _ 1 , p _ 2 , q _ 1 , q _ 2\) は整数）とおく.
\(x = q _ 1 q _ 2 n\) （ \(n\) は整数）とおけば
\[\begin{align}
y & = \dfrac{p _ 1}{q _ 1} \cdot (q _ 1 q _ 2 n)^2 +\dfrac{p _ 2}{q _ 2} \cdot q _ 1 q _ 2 n \\
& = p _ 1 q _ 1 {q _ 2}^2 n^2 +p _ 2 q _ 1 n
\end{align}\]
これは整数なので, 点 \(( q _ 1 q _ 2 n , p _ 1 q _ 1 {q _ 2}^2 n^2 +p _ 2 q _ 1 n )\) は, \(y = ax^2 +bx\) 上の格子点である.
よって, \(n\) は無限にあるので, 格子点も無限個にあるといえる.