実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.
(i) \(a _ 1 = \langle a \rangle\)
(ii) \(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)
(1) \(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.
(2) 任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(1 \lt a \lt 2\) なので \[ a _ 1 = \sqrt{2} -1 \] \(a _ k = \sqrt{2} -1 \quad ( k = 1 , 2 , \cdots )\) と仮定すると, \(\dfrac{1}{\sqrt{2} -1} = \sqrt{2} +1\) であり, \(2 \lt \sqrt{2} +1 \lt 3\) なので \[ a _ {k+1} = \left( \sqrt{2} +1 \right) -2 = \sqrt{2} -1 \] したがって \(n \geqq 1\) のとき \[ a _ n = \underline{\sqrt{2} -1} \]
(2)
条件をみたす \(a\) は, ある負でない整数 \(r\) を用いた以下の式を満たす.
\[\begin{align}
\dfrac{1}{a} & = a+r \\
\text{∴} \quad a^2 +ra -1 & = 0 \quad ... [1]
\end{align}\]
\(\langle a \rangle\) を与える式および \(a \geqq \dfrac{1}{3}\) より
\[\begin{align}
\dfrac{1}{3} & \leqq a \lt 1 \\
\text{∴} \quad 1 & \lt \dfrac{1}{a} \leqq 3
\end{align}\]
したがって整数 \(r\) の候補は, \(r = 0 , 1 , 2\) のみ.
それぞれの場合について, [1] より
1* \(r=0\) のとき \[ a^2 -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = 1 \] なので不適
2* \(r=1\) のとき \[ a^2 +a -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = \dfrac{\sqrt{5} -1}{2} \]
3* \(r=2\) のとき \[ a^2 +2a -1 = 0 \\ \text{∴} \quad a = \sqrt{2} -1 \]
以上より, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{\dfrac{\sqrt{5} -1}{2} , \sqrt{2} -1} \]