\(x\) の \(3\) 次関数 \(f(x) = ax^3+bx^2+cx+d\) が, \(3\) つの条件 \[ f(1) = 1 , \ f(-1) = -1 , \ \displaystyle\int _ {-1}^{1} ( bx^2+cx+d ) \, dx = 1 \] を全て満たしているとする. このような \(f(x)\) の中で定積分 \[ I = \displaystyle\int _ {-1}^{\frac{1}{2}} \left\{ f''(x) \right\}^2 \, dx \] を最小にするものを求め, そのときの \(I\) の値を求めよ. ただし, \(f''(x)\) は \(f'(x)\) の導関数を表す.
【 解 答 】
条件より
\[\begin{align}
f(1) & = a+b+c+d = 1 , \\
f(-1) & = -a+b-c+d = -1
\end{align}\]
\(2\) 式を加減すると
\[\begin{align}
b+d = 0 & , \ a+c = 1 \\
\text{∴} \quad d = -b & , \ c = 1-a \quad ... [1]
\end{align}\]
さらに
\[\begin{align}
\displaystyle\int _ {-1}^{1} ( bx^2+cx+d ) \, dx & = 2 \left[ \dfrac{bx^3}{3} +dx \right] _ {0}^{1} \\
& = \dfrac{2b}{3} +2d \\
& = -\dfrac{4b}{3} \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ )
\end{align}\]
なので, 条件より
\[\begin{align}
-\dfrac{4b}{3} & = 1 \\
\text{∴} \quad b & = -\dfrac{3}{4}
\end{align}\]
[1] より
\[
d = \dfrac{3}{4}
\]
これらを用いると
\[\begin{align}
f'(x) & = 3ax^2 +2bx +c , \\
f''(x) & = 6ax +2b = \dfrac{3}{2} ( 4ax-1 )
\end{align}\]
なので
\[\begin{align}
I & = \dfrac{9}{4} \displaystyle\int _ {-1}^{\frac{1}{2}} ( 4ax-1 )^2 \, dx \\
& = \dfrac{9}{4} \left[ \dfrac{16a^2x^3}{3} -4ax^2 +x \right] _ {-1}^{\frac{1}{2}} \\
& = \dfrac{9}{4} \left\{ \left( \dfrac{2a^2}{3} -a +\dfrac{1}{2} \right) -\left( -\dfrac{16a^2}{3} -4a -1 \right) \right\} \\
& = \dfrac{9}{4} \left( 6a^2 +3a +\dfrac{3}{2} \right) \\
& = \dfrac{9}{4} \left\{ 6 \left( a +\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{9}{8} \right\} \\
& \geqq \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{9}{8} = \dfrac{81}{32}
\end{align}\]
等号成立は, \(a = -\dfrac{1}{4}\) のときである.
[1] より, \(c = \dfrac{5}{4}\) .
以上より, \(I\) は
\[
f(x) = \underline{-\dfrac{1}{4}x^3 -\dfrac{3}{4}x^2 +\dfrac{5}{4}x +\dfrac{3}{4}}
\]
のとき, 最小値 \(\underline{\dfrac{81}{32}}\) をとる.