\(1\) が書かれたカードが \(1\) 枚, \(2\) が書かれたカードが \(1\) 枚, …, \(n\) が書かれたカードが \(1\) 枚の全部で \(n\) 枚のカードからなる組がある. この組から \(1\) 枚を抜き出し元にもどす操作を \(3\) 回行う. 抜き出したカードに書かれた数を \(a , b , c\) とするとき, 得点 \(X\) を次の規則 (i) , (ii) に従って定める.
(i) \(a , b , c\) がすべて異なるとき, \(X\) は \(a , b , c\) のうちの最大でも最小でもない値とする.
(ii) \(a , b , c\) のうちに重複しているものがあるとき, \(X\) はその重複した値とする.
\(1 \leqq k \leqq n\) をみたす \(k\) に対して, \(X = k\) となる確率を \(p _ k\) とする.
(1) \(p _ k\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(p _ k\) が最大となる \(k\) を \(n\) で表せ.
【 解 答 】
(1)
規則 (i) によって, \(X=k\) となる確率は \[ \dfrac{3! (k-1)(n-k)}{n^3} = \dfrac{6(k-1)(n-k)}{n^3} \]
規則 (ii) によって, \(X=k\) となる確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ 2 (n-1)}{n^3} +\dfrac{1}{n^3} = \dfrac{3n-2}{n^3} \]
よって \[\begin{align} p _ k & = \dfrac{6(k-1)(n-k)}{n^3} +\dfrac{3n-2}{n^3} \\ & = \underline{\dfrac{-6k^2 +6(n+1)k -3n-2}{n^3}} \end{align}\]
(2)
(1) の結果より \[\begin{align} p _ {k+1} -p _ k & = \dfrac{6}{n^3} \left\{ (k+1)^2 -k^2 +(n-1) \right\} \\ & = \dfrac{6(2k-n)}{n^3} \end{align}\] \(p _ {k+1} -p _ k = 0\) をとくと \[ k = \dfrac{n}{2} \] したがって, \(n\) の奇偶で場合分けして
1* \(n\) が偶数のとき \[ p _ 1 \lt \cdots \lt p _ {\frac{n}{2}} = p _ {\frac{n}{2}+1} \gt \cdots p _ n \] なので, \(p _ k\) が最大となるのは \[ k = \dfrac{n}{2} , \ \dfrac{n}{2} +1 \]
2* \(n\) が奇数のとき \[ p _ 1 \lt \cdots \lt p _ {\frac{n-1}{2}} \lt p _ {\frac{n+1}{2}} \gt p _ {\frac{n+3}{2}} \gt \cdots >p _ n \] なので, \(p _ k\) が最大となるのは \[ k = \dfrac{n+1}{2} \]
よって, 求める \(k\) の値は \[ k = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{n}{2} , \dfrac{n}{2} +1 & ( \ n \text{が偶数のとき} ) \\ \dfrac{n+1}{2} & ( \ n \text{が奇数のとき} ) \end{array} \right.} \]