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【 解 答 】

(1)

条件より, \(f(x) = 0\) の \(3\) つの解は, 実数 \(c\) を用いて \(x= a \pm bi , c\) と表せる.
解と係数の関係を用いると \[\begin{align} 2a+c & = -8 \quad ... [1] \ , \\ a^2+b^2 +2ac & = m \quad ... [2] \ , \\ c(a^2+b^2) & = -60 \quad ... [3] \end{align}\] [1] より, \(c\) も整数であり \[ c = -2(a+4) \quad ... [4] \] [3] に代入すると \[ (a+4)(a^2+b^2) = 30 \] ここで, \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\) の約数のうち, \(2\) つの平方数の和で表せるのは \(1 , 2 , 5 , 10\) のみなので, \(a , a^2+b^2\) の取り得る値は \[ ( a , a^2 +b^2 ) = ( 26 , 1 ) , ( 11 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( -1 , 10 ) \] このうち, \(a , b\) ともに整数となるのは \[ (a,b) = ( 2 , \pm 1 ) , (-1 , \pm 3 ) \] したがって, [2] [4]を用いて

• \((a,b) = ( 2 , \pm 1 )\) のとき
  \[\begin{align} c & = -2 (2+4) = -12 \ , \\ m & = 5 +2 \cdot 2 \cdot (-12) = -43 \end{align}\]
• \((a,b) = (-1 , \pm 3 )\) のとき
  \[\begin{align} c & = -2 (-1+4) = -6 \ , \\ m & = 10 +2 \cdot (-1) \cdot (-6) = 22 \end{align}\] よって, 求める \(m\) の値は \[ m = \underline{-43 , 22} \]

(2)

(1) の結果を用いれば, 求める解は

• \(m = -43\) のとき
  \[ x = \underline{2 \pm i , -12} \]
• \(m = 22\) のとき
  \[ x = \underline{-1 \pm 3i , -6} \]

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【 解 答 】

(1)

数学的帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n=1\) のとき \[ 2x^2+6x+4 = 0 \] 判別式を \(D _ 1\) とおくと \[ \dfrac{D _ 1}{4} = 3^2 -2 \cdot 4 = 1 \gt 0 \] したがって, \(H _ 1\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.

2. 2*　\(n = k \ ( k \geqq 1 )\) のとき
   \(H _ k\) が \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる, すなわち \(a _ k x^2 +2 b _ k x +c _ k = 0\) の判別式 \(D _ k\) について \[ \dfrac{D _ k}{4} = {b _ k}^2 -a _ k c _ k \gt 0 \quad ... [1] \] が成立すると仮定すると \(a _ {k+1} x^2 +2 b _ {k+1} x +c _ {k+1} = 0\) の判別式 \(D _ {k+1}\) について \[\begin{align} \dfrac{D _ {k+1}}{4} & = {b _ {k+1}}^2 -a _ {k+1} c _ {k+1} \\ & = \left( b _ k +2 a _ k \right)^2 -4 a _ k \left( \dfrac{c _ k}{4} +a _ k +b _ k \right) \\ & = {b _ k}^2 -a _ k c _ k \\ & = \dfrac{D _ k}{4} \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \end{align}\] ゆえに, \(H _ {k+1}\) も \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.

以上より, すべての自然数 \(n\) について, \(H _ n\) は \(x\) 軸と \(2\) 点で交わる.

(2)

\(a _ n x^2 +2 b _ n x +c _ n = 0\) の \(2\) 解を \({\alpha} _ n , {\beta} _ n \ ( {\alpha} _ n \lt {\beta} _ n )\) とおくと, 解と係数の関係より \[ {\alpha} _ n + {\beta} _ n = -\dfrac{2 b _ n}{a _ n} , \ {\alpha} _ n {\beta} _ n = \dfrac{c _ n}{a _ n} \] これを用いれば \[\begin{align} \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n & = {\beta} _ n - {\alpha} _ n \\ & = \sqrt{\left( {\alpha} _ n + {\beta} _ n \right)^2 -4 {\alpha} _ n {\beta} _ n} \\ & = \dfrac{\sqrt{4 {b _ n}^2 -4 a _ n c _ n}}{a _ n} \\ & = \dfrac{2}{a _ n} \sqrt{\dfrac{D _ n}{4}} = \dfrac{\sqrt{D _ n}}{a _ n} \quad ... [2] \end{align}\] (1) の途中経過より, \(D _ n\) は \(n\) によらず一定で \[ D _ n = D _ 1 = 6^2 -4 \cdot 2 \cdot 4 = 4 \] また, 条件より \(\{ a _ n \}\) は初項 \(2\) , 公比 \(4\) の等比数列なので \[ a _ n = 2 \cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1} \] これらを [2] に代入すれば \[ \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n = \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} \] よって求める和は \[\begin{align} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \text{P}{} _ n \text{Q}{} _ n & = \dfrac{1 -\left( \frac{1}{4} \right)^n}{1 -\frac{1}{4}} \\ & = \underline{\dfrac{4}{3} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{4} \right)^n \right\}} \end{align}\]

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【 解 答 】

(1)

線分 OQ と \(C\) に囲まれた部分, △OPQ の面積をそれぞれ \(S , T\) とおく. \[\begin{align} S & = -\displaystyle\int _ 0^q ax(x-q) \, dx \\ & = \dfrac{1}{6} aq^3 , \\ T & = \dfrac{1}{2} \left| p (aq^2+bq) -q (ap^2+bp) \right| \\ & = \dfrac{1}{2} apq(q-p) \end{align}\] \(S = \dfrac{3}{2} T\) なので \[\begin{align} \dfrac{1}{6} aq^3 & = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} apq(q-p) \\ 2q^2 -9pq +9p^2 & = 0 \\ (2q-3p)(q-3p) & = 0 \text{∴} \quad \underline{ q = 3p , \dfrac{3p}{2}} & \end{align}\]

(2)

\[ T = \dfrac{aq}{2} \left\{ -\left( p -\dfrac{q}{2} \right)^2 +\dfrac{q^2}{4} \right\} \] したがって, \(T\) を最大にする \(p\) は \[ p = \underline{\dfrac{q}{2}} \] これは, \(0 \lt p \lt q\) を満たしている.
このとき \[\begin{align} T : S & = \dfrac{1}{8} aq^3 : \dfrac{1}{6} aq^3 \\ & = \underline{3 : 4} \end{align}\]

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【 解 答 】

\[ f'(x) = 3x^2 -6ax = 3x(x-2a) \] \(f'(x)=0\) をとくと \[ x=0 , 2a \] 極大ととなる点にも着目すれば, \(x \leqq 2\) において最大値となる候補は \[\begin{align} f(2) & = 8-12a+a = 8-11a , \\ f(2a) & = 8a^3 -12a^3 +a = -4a^3+a \quad ( \ a \lt 0 \text{のときのみ} ) , \\ f(0) & = a \quad ( \ a \gt 0 \text{のときのみ} ) \end{align}\] これらの大小を比較すると, 下のグラフのようになる.

よって, \(f(x)\) の \(x \leqq 2\) における最大値は \[ \left\{\begin{array}{ll} -4a^3+a & ( \ a \lt -2 \text{のとき} ) \\ 8-11a & \left( \ -2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \\ a & \left( \ a\geq \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \end{array}\right. \] それぞれの場合について, 最大値が \(105\) になるときを調べると

1. 1*　\(a \lt -2\) のとき \[\begin{align} -4a^3+a & = 105 \\ (a+3)(4a^2 -12a +35) & = 0 \\ \text{∴} \quad a = -3 & \end{align}\] これは \(a \lt -2\) を満たしている.

2. 2*　\(-2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3}\) のとき \[\begin{align} 8-11a & = 105 \\ \text{∴} \quad a & = -\dfrac{97}{11} \end{align}\] これは \(-2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3}\) を満たさず, 不適.

3. 3*　\(a \geqq \dfrac{2}{3}\) のとき \[ a = 105 \] これは \(a \geqq \dfrac{2}{3}\) を満たしている.

以上より, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{-3 , 105} \]

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【 解 答 】

(1)

• 規則 (i) によって, \(X=k\) となる確率は \[ \dfrac{3! (k-1)(n-k)}{n^3} = \dfrac{6(k-1)(n-k)}{n^3} \]

• 規則 (ii) によって, \(X=k\) となる確率は \[ \dfrac{{} _ {3} \text{C} {} _ 2 (n-1)}{n^3} +\dfrac{1}{n^3} = \dfrac{3n-2}{n^3} \]

よって \[\begin{align} p _ k & = \dfrac{6(k-1)(n-k)}{n^3} +\dfrac{3n-2}{n^3} \\ & = \underline{\dfrac{-6k^2 +6(n+1)k -3n-2}{n^3}} \end{align}\]

(2)

(1) の結果より \[\begin{align} p _ {k+1} -p _ k & = \dfrac{6}{n^3} \left\{ (k+1)^2 -k^2 +(n-1) \right\} \\ & = \dfrac{6(2k-n)}{n^3} \end{align}\] \(p _ {k+1} -p _ k = 0\) をとくと \[ k = \dfrac{n}{2} \] したがって, \(n\) の奇偶で場合分けして

1. 1*　\(n\) が偶数のとき \[ p _ 1 \lt \cdots \lt p _ {\frac{n}{2}} = p _ {\frac{n}{2}+1} \gt \cdots p _ n \] なので, \(p _ k\) が最大となるのは \[ k = \dfrac{n}{2} , \ \dfrac{n}{2} +1 \]

2. 2*　\(n\) が奇数のとき \[ p _ 1 \lt \cdots \lt p _ {\frac{n-1}{2}} \lt p _ {\frac{n+1}{2}} \gt p _ {\frac{n+3}{2}} \gt \cdots >p _ n \] なので, \(p _ k\) が最大となるのは \[ k = \dfrac{n+1}{2} \]

よって, 求める \(k\) の値は \[ k = \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{n}{2} , \dfrac{n}{2} +1 & ( \ n \text{が偶数のとき} ) \\ \dfrac{n+1}{2} & ( \ n \text{が奇数のとき} ) \end{array} \right.} \]

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