\(a\) を定数とし, \(f(x) = x^3-3ax^2+a\) とする. \(x \leqq 2\) の範囲で \(f(x)\) の最大値が \(105\) となるような \(a\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
\[ f'(x) = 3x^2 -6ax = 3x(x-2a) \] \(f'(x)=0\) をとくと \[ x=0 , 2a \] 極大ととなる点にも着目すれば, \(x \leqq 2\) において最大値となる候補は \[\begin{align} f(2) & = 8-12a+a = 8-11a , \\ f(2a) & = 8a^3 -12a^3 +a = -4a^3+a \quad ( \ a \lt 0 \text{のときのみ} ) , \\ f(0) & = a \quad ( \ a \gt 0 \text{のときのみ} ) \end{align}\] これらの大小を比較すると, 下のグラフのようになる.
よって, \(f(x)\) の \(x \leqq 2\) における最大値は \[ \left\{\begin{array}{ll} -4a^3+a & ( \ a \lt -2 \text{のとき} ) \\ 8-11a & \left( \ -2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \\ a & \left( \ a\geq \dfrac{2}{3} \text{のとき} \right) \end{array}\right. \] それぞれの場合について, 最大値が \(105\) になるときを調べると
1* \(a \lt -2\) のとき \[\begin{align} -4a^3+a & = 105 \\ (a+3)(4a^2 -12a +35) & = 0 \\ \text{∴} \quad a = -3 & \end{align}\] これは \(a \lt -2\) を満たしている.
2* \(-2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3}\) のとき \[\begin{align} 8-11a & = 105 \\ \text{∴} \quad a & = -\dfrac{97}{11} \end{align}\] これは \(-2 \leqq a \lt \dfrac{2}{3}\) を満たさず, 不適.
3* \(a \geqq \dfrac{2}{3}\) のとき \[ a = 105 \] これは \(a \geqq \dfrac{2}{3}\) を満たしている.
以上より, 求める \(a\) の値は \[ a = \underline{-3 , 105} \]