\(m\) を整数とし, \(f(x) = x^3+8x^2+mx+60\) とする.
(1) 整数 \(a\) と, \(0\) ではない整数 \(b\) で, \(f(a+bi) = 0\) をみたすものが存在するような \(m\) をすべて求めよ. ただし, \(i\) は虚数単位である.
(2) (1) で求めたすべての \(m\) に対して, 方程式 \(f(x) = 0\) を解け.
【 解 答 】
(1)
条件より, \(f(x) = 0\) の \(3\) つの解は, 実数 \(c\) を用いて \(x= a \pm bi , c\) と表せる.
解と係数の関係を用いると
\[\begin{align}
2a+c & = -8 \quad ... [1] \ , \\
a^2+b^2 +2ac & = m \quad ... [2] \ , \\
c(a^2+b^2) & = -60 \quad ... [3]
\end{align}\]
[1] より, \(c\) も整数であり
\[
c = -2(a+4) \quad ... [4]
\]
[3] に代入すると
\[
(a+4)(a^2+b^2) = 30
\]
ここで, \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\) の約数のうち, \(2\) つの平方数の和で表せるのは \(1 , 2 , 5 , 10\) のみなので, \(a , a^2+b^2\) の取り得る値は
\[
( a , a^2 +b^2 ) = ( 26 , 1 ) , ( 11 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( -1 , 10 )
\]
このうち, \(a , b\) ともに整数となるのは
\[
(a,b) = ( 2 , \pm 1 ) , (-1 , \pm 3 )
\]
したがって, [2] [4]を用いて
- \((a,b) = ( 2 , \pm 1 )\) のとき
\[\begin{align} c & = -2 (2+4) = -12 \ , \\ m & = 5 +2 \cdot 2 \cdot (-12) = -43 \end{align}\] - \((a,b) = (-1 , \pm 3 )\) のとき
\[\begin{align} c & = -2 (-1+4) = -6 \ , \\ m & = 10 +2 \cdot (-1) \cdot (-6) = 22 \end{align}\] よって, 求める \(m\) の値は \[ m = \underline{-43 , 22} \]
(2)
(1) の結果を用いれば, 求める解は
- \(m = -43\) のとき
\[ x = \underline{2 \pm i , -12} \] - \(m = 22\) のとき
\[ x = \underline{-1 \pm 3i , -6} \]